توصیف داده ها با شاخص های آماری مکانی

توصیف داده ها با شاخص های آماری مکانی-موسسه چشم انداز-آموزش کاربردی GIS و RS

در روش توصیف داده ­ها به کمک شاخص­ های آماری مکانی، داده ­های جغرافیایی با توجه به در نظر گرفتن وابستگی آن­ها با مکان توصیف می شوند. در زیر مهم ترین شاخص­ های آماری مکانی توضیح داده شده است.

ميانگين مکاني

مرسوم­ ترين سنجش گرایش مرکزی برای داده­ های فضایی، میانگین مکاني (مرکز ميانگين) است، که به صورت مکان نقطه­ ای در یک منطقه مطالعاتی خاص ارائه می­ شود. بررسی میانگین مکانی (مرکزی) در آمار فضایی مشابه آمار کلاسیک است با این تفاوت که آمار فضایی به دنبال به دست آوردن مکان تعادل است. از این رو مختصات جغرافیایی مکان همچون طول (x) ، عرض (y) و گاهی اوقات ارتفاع (z) اهمیت پیدا می­ کند (میچل،2009). در شکل 5-1 مفهوم ساده ميانگين مکاني براي عوارض نقطه­ اي نشان داده شده است.

براي محاسبه ميانگين مکاني از روابط زير استفاده مي ­شود:

مختصات به دست آمده از روابط فوق نشان دهنده نقطه ميانگين مکاني است.

توصیف داده ها با شاخص های آماری مکانی

پرسش 2)

با توجه به مقادير ارائه شده در جدول زیر که نشان دهنده موقعيت ايستگاه ­هاي هواشناسي واقع در استان بوشهر مي ­باشد، ميانگين مکاني ايستگاه ­هاي مزبور را به دست آوريد.

ميانگين مکاني عوارض خطي و سطحي، متفاوت از ميانگين مکاني عوارض نقطه ­اي است و نشان دهنده نقطه تعادل فيزيکي (نقطه شاقولي) عوارض است. به عبارتی اگر خطوط يا سطوح مورد نظر از این نقطه با يک طناب فرضي آويزان شوند در حالت تعادل استاتيکي قرار می­ گیرد (برت و همکاران، 1996). در شکل 5-2 ميانگين مکاني شهرستان­ هاي استان فارس که عوارض سطحي (پليگوني) مي­ باشند، نشان داده شده است.

همچنين می ­توان داده­ هاي سطحی را به گروه ­هاي مجزايي تفکیک کرده و ميانگين فضايي هر گروه را به طور مجزا مشخص نمود. به عنوان مثال می­توان شهرستان­ هاي استان فارس را به سه دسته با درجه توسعه یافتگي 1، 2 و 3 تقسیم­ بندی کرده و سه ميانگين فضايي مجزا به دست آورد (شکل 5-3).

یکی از ویژگی های مهم میانگین مکانی، اینست که مجموع مربعات فواصل را به حداقل می ­رساند. به عبارتی دیگر:

میانگین وزنی مکانی

در صورت دخالت دادن يک ويژگي (مثلاً دما، آلودگي هوا، عمق آب و …) در ميانگين­ گيري مکاني، ميانگين وزني مکانی حاصل مي­ شود. در اینجا wi وزن عارضه i می­ باشد. مختصات ميانگين وزني مکاني با روابط زير قابل محاسبه مي­ باشد:

مرکز ثقل عوارض از لحاظ طول، عرض و ارتفاع جغرافیایی در نظر گرفته مي­ شود (کوهن و همکاران، 1962). در شکل 5-4 نقاط مربوط به ميانگين جمعيت مکاني تعدادي از ايالت­ هاي آمريکا از سال 1790 تا 2010 نشان داده شده است.

در شکل 5-4 جا به ­جایی میانگین مرکزی جمعیت در طی سال­ های مختلف به خوبی نشان داده شده است. براي نمونه در بین سال­های 1820 تا 1850 میانگین مرکزی از شرق ایالت ویرجينياي شرقی به سمت غرب آن کشیده شده است. در بین سال­های 1860 تا 1880 نيز میانگین مرکزی از جنوب ایالت اوهايو به جنوب غرب آن تغيير مکان داده است. برای یک پژوهشگر جمعيت­ شناسي بررسی علت و جا به­ جایی، میانگین مرکزی اهمیت زیادی دارد.

پرسش 3)

با توجه به مقادير ارائه شده در جدول زیر میانگین وزنی فضایی را به دست آورید.

جواب:

ستون پنجم و ششم از طریق محاسبه به دست آمده است.

همان طور که در قسمت بالا توضیح داده شد، وزن نسبت داده شده به مشاهدات بیانگر تأثیر یک ویژگی است. در صورتی که از بین مشاهدات چند مورد از آن­ها وزن بیشتری را به خود اختصاص دهند میانگین وزنی به سمت آن مشاهدات گرایش پیدا می ­کند. شکل 5-5 (ب) تأثیر وزن و جا به جایی میانگین وزنی را به خوبی نشان می­ دهد.

میانه مکاني

میانگین مکاني، مجموع مربعات فواصل را به حداقل می­ رساند. در مطالعات مکاني این تعریف کاربرد چنداني ندارد و معمولاً سعي بر آن است که مکانی را یافت که مجموع فواصل را به حداقل برساند.

مکانی که مجموع فواصل طی شده را به حداقل می­ رساند، به عنوان ميانه مکاني (مرکز میانه) شناخته می ­شود. گرچه تفسیر اين شاخص ساده تر از تفسیر میانگین مکاني است، اما محاسبه آن پیچیده ­تر می­ باشد. محاسبه میانه مکاني تکرار شونده است و با استفاده از مکان ابتدایی (میانگین مکاني) آغاز می­ شود. سپس، مختصات X و y جدید (که به صورت  و  نشان داده می­ شود) با استفاده از معادله زیر به روزرسانی می­ شود:

در روابط بالا، di فاصله نقطه i تا مکان ابتدایی مشخص شده براي ميانه مکاني می­ باشد. روابط فوق بار ديگر محاسبه شده و مختصات X و y جدیدي به دست می­ آید، در اين حالت di فاصله نقطه i تا جدیدترین مکان محاسبه شده ( ́x ́,y ) برای ميانه مکاني است. این فرآیند تکرار شونده زمانی پایان می­ یابد که موقعيت آخرين ميانه مکاني تفاوت معنی ­داری با مکانی که پیشتر محاسبه شده نداشته باشد (استودارد، 1993).

در شکل 5-6 جا به­ جایی میانه مرکزی جمعیت ایالات متحده در طی سال­های مختلف به خوبی نشان داده شده است.

با توجه به شکل 5-4 و 5-6، میانگین مرکزی جمعیت در سال 2010 در ایالت میسوری و میانه مرکزی در ایالت ایندینا واقع شده، که عدم تطبیق میانگین و میانه مرکزی را نشان می­ دهد.

همچنین نقاط نشان داده شده در نقشه 5-7 نیز، بيانگر مقایسه ميانه و ميانگين مکاني ضريب فشردگي زيرحوضه­ هاي آبريز درجه 2 ايران مي باشد که در بيشتر موارد بر يکديگر منطبق نيستند. ضريب فشردگي از رابطه زير محاسبه مي­ شود:

که در آن P محيط حوضه بر حسب کيلومتر و A مساحت حوضه برحسب کيلومتر مربع مي ­باشد. در حوضه­ هاي دايره ­اي شکل مقدار C.C نزديک به 1 و براي حوضه­ هاي کشيده بين 1/5 تا 2/5 است (عليزاده، 1390).

پرسش4)

با توجه به مقادير ارائه شده در جدول زیر به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) میانگین فضایی را به دست آورید.

ب) در صورتی که پهنه ششم به طول 20 و عرض 30 به جدول بالا اضافه شود، میانگین مکانی را به دست آورید.

ج) میانگین فضایی به دست آمده از قسمت (الف) و (ب) را مقایسه کنید.

د) میانه فضایی برای شش پهنه به دست آورید.

ه) میانگین و میانه فضایی برای شش پهنه را مقایسه کنید.

جواب:

ج) از آن جا که مختصات لحاظ شده در پهنه ششم تفاوت زیادی با دیگر مختصات پهنه­ ها دارد از این رو به نسبت قبل تفاوت زیادی در میانگین فضایی شش پهنه مشاهده می­ شود.

ه) میانه نسبت به میانگین فضایی تغییرات کمتری در مواجه با داده دور افتاده (مختصات پهنه ششم) دارد.

عارضه مرکزي

عارضه مرکزي، عارضه ­اي است که حداقل فاصله افقي را با نقطه ميانگين مکاني دارا مي ­باشد. براي مشخص کردن عارضه مرکزي ابتدا مرکز ثقل عوارض موجود مشخص شده و سپس فاصله افقي هر مرکز با ساير مراکز محاسبه مي­ شود. در مرحله بعد مجموع فواصل هر مرکز با ساير مراکز مشخص شده و عارضه ­اي که کمترين فراواني تجمعي فاصله را دارا باشد به عنوان عارضه مرکزي انتخاب مي­ شود. در شکل 5-8 مفهوم عارضه مرکزي در مورد تعدادي از عوارض نقطه ­اي نشان داده شده است.

در صورت در نظر گرفتن يک مقدار يا ويژگي براي تعيين عارضه مرکزي، مي­ توان عارضه مرکزي را به صورت وزني نيز مشخص کرد. به عنوان مثال در صورت وجود چند حوضه آبريز که آب دهي هر کدام از آن­ها مشخص است، مي­ توان حوضه آبريزي را تعيين کرد که آب دهي آن به ميانگين آب دهي حوضه ­هاي آبريز نزديک تر باشد و در عين حال نسبت به مرکز ثقل مجموع حوضه­ ها نيز کمترين فاصله را دارا باشد.

مفهوم پراکندگی فضایی (تغییرات فضایی)

برنامه آمایش سرزمین، یکی از مهمترین برنامه­ هاي در حال اجرا در بيشتر کشورها مي­ باشد. مديران اجرايي علاقه دارند بدانند در هر جای سرزمین خود چه چیزی، به چه مقدار و کجا وجود دارد و چگونه می­ توانند از آن بهره­ برداری بهینه داشته باشند. برای نمونه تولید محصولات مختلف (کشت چای، برنج، داروهای گیاهی و … ) و معادن، جنگل­ ها و … در کجای کشور بيشتر يا کمتر است؟، توليد هرکدام از اين منابع به چه ميزان است و پاسخ این قبیل سوالات به مطالعه پراکندگی بر می ­گردد که این امکان را می­ دهد که دانست در هر جای زمین چه چیزی و به چه مقداری وجود دارد.

در آمار فضایی نیز می ­توان همانند آمار کلاسیک علاوه بر شاخص­ های مرکزی، شاخص­ های پراکندگی را تعریف کرد. در این بخش به برخی از مهمترین شاخص­ های پراکندگی اشاره می­ شود.

فاصله استاندارد مطلق (انحراف معیار فضایی)

در آمار کلاسیک مي ­توان با استفاده از دو شاخص واریانس و انحراف معیار، فاصله داده ­ها از نقطه تعادل (ميانگين) را مشخص کرد. اما در آمار فضایی براي مشخص کردن پراکندگی مکانی عوارض (با مختصات x و y) از مکان تعادل (ميانگين مکاني)، از شاخصي موسوم به فاصله استاندارد مطلق (انحراف معیار فضایی) استفاده مي­ شود (گلس، 1981) . اين شاخص با استفاده از رابطه زير محاسبه مي ­شود:

که در اینجا Xi و yi مختصات هر عارضه و x ̅ و y ̅ مختصات نقطه ميانگين مکاني عوارض است. همچنين با رابطه زير مي ­توان فاصله استاندارد وزني را محاسبه کرد:

در رابطه فوق Wi وزن (يا مقدار) عارضه i می­ باشد.

فاصله استاندارد مطلق معمولاً با استفاده از يک دايره به شعاع SD و با مرکزيت نقطه ميانگين مکاني نشان داده مي ­شود (شکل 5-9 را ببينيد). مسلماً هرچه شعاع اين دايره بيشتر باشد، پراکندگي نقاط نسبت به نقطه تعادل (ميانگين مکاني) بيشتر است. فاصله استاندارد مطلق براي عوارض خطي و سطحی، مرکز ثقل اين عوارض را در محاسبات مدنظر قرار مي ­دهد (ریودیل، 1983).

در شکل 5-10 که نشان دهنده موقعيت صنايع استان­ هاي فارس و اصفهان مي ­باشد، بهتر مي ­توان مفهوم فاصله استاندارد مطلق (انحراف معيار فضايي) را متوجه شد. در استان فارس بیشتر صنایع در امتداد جاده اصلی استان که روند شمال غربی به جنوب شرقی دارند احداث شده ­اند و به عبارتی الگوی پراکنش فضایی آن­ها یک الگوی غیر نرمال و بیضی شکل با انحراف معيار فضايي بالاست. در حالی که در استان اصفهان صنایع موجود در اطراف یک نقطه مرکزی (شهر اصفهان) گسترش یافته ­اند و الگوی پراکنش فضایی آن­ها به صورت نرمال، دایره ­ای شکل و با انحراف معيار فضايي کم است. در صورت توزیع نرمال عارضه می توان فراوانی عارضه را در شعاع های معینی از مرکز توزیع محاسبه کرد.

واریانس فضایی که یک شاخص مهم پراکندگی است از طریق رابطه زیر محاسبه می­شود:

به طور ساده جذر واریانس فضایی، همان فاصله استاندارد مطلق (انحراف معیار فضایی) است:

پرسش5)

با توجه به مقادير ارائه شده در جدول زیر به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) میانگین فضایی را به دست آورید.

ب) انحراف معیار فضایی را به دست آورید.

ج) واریانس فضایی را به دست آورید.

فاصله استاندارد نسبي

مک گرو و مونرو (1993) شاخصي را با عنوان “فاصله استاندارد نسبي

پيشنهاد کردند که وضعيت پراکنش عوارض را به صورت نسبي انجام مي­ دهد. در شکل 5-11 عوارض موجود در دو منطقه با مساحت­ هاي مختلف نشان داده شده است. فاصله استاندارد مطلق مربوط به هر دو منطقه با هم برابر مي­ باشد (شعاع برابر دو منطقه)، اما روشن است که مقدار پراکنش حول مکان مرکزی (نقطه ميانگين مکاني) در اين دو منطقه با هم فرق مي ­کند. بنابراين فاصله استاندارد مطلق نمي­ تواند به­ خوبي وضعيت پراکنش داده­ ها را نسبت به منطقه مورد مطالعه نشان دهد (جانسون و همکاران، 1982). به عبارتی دیگر برای مقایسه پراکنش در مناطق مطالعاتی که مساحت­ هاي متفاوت دارند از شاخص فاصله استاندارد نسبی استفاده می ­شود که به صورت زیر به دست می­آید:

که SD فاصله استاندارد مطلق و A مساحت منطقه مورد مطالعه است.

در موارد خاص و به طور ساده براي یک منطقه دایره ­ای شکل، فاصله استاندارد نسبی برابر با

و برای یک منطقه مربع شکل برابر با

مي ­باشد. در اين روابط R و S به ­ترتيب شعاع و طول ضلع مربع هستند. لازم به ذکر است که بيشينه فاصله نسبی برای یک دایره برابر با 1 و برای یک مربع برابر با

می­ باشد (مک گرو و همکاران، 1993).

پرسش6)

شکل زیر و مقدار به دست آمده برای انحراف معیار فضایی دو منطقه (الف) و (ب) نشان می ­دهد که انحراف معیار فضایی در دو منطقه (الف) و (ب) یکسان است (مقدار انحراف فضایی دو منطقه 4/93 می­ باشد). مساحت منطقه (الف) برابر با 161 کیلومتر و مساحت منطقه (ب) برابر با 418 کیلومتر است. به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) فاصله استاندارد نسبی برای منطقه (الف) به دست آورید.

ب) فاصله استاندارد نسبی برای منطقه (ب) به دست آورید.

ج) فاصله استاندارد نسبی دو منطقه را مقایسه کنید.

جواب:

الف) از آن جا که شعاع فاصله استاندارد نسبی از طریق زیر به دست می ­آید بنابراین:

ج) فاصله استاندارد نسبی در منطقه (الف) بیشتر از منطقه (ب) می­باشد. به عبارتی مشاهدات در این منطقه پراکندگی بیشتری دارند.

توزيع جهت ­دار

توزيع جهت­ دار به معناي وجود يک روند فضايي در عوارض واقع در منطقه مورد مطالعه مي ­باشد. در شکل زير به طور ساده توزيع شمال شرقي جنوب غربي عوارض نقطه اي نشان داده شده است. وجود روند معمولاً با يک بيضي شماتيک با عنوان بيضي انحراف استاندارد نشان داده مي­ شود که قطر بزرگ آن نمايانگر جهت توزيع مي­ باشد (فیشر و همکاران، 1987).

استفاده از مفهوم توزيع جهت­ دار در مطالعات زيست ­محيطي رايج مي­ باشد. براي نمونه اسکوبار و همکاران (2015) در مطالعه­ اي بر روي شيوع بيماري هاري در کشور شيلي، روند شمال شرقي-جنوب غربي را در شيوع اين بيماري پيشنهاد کردند که منطبق با روند مهاجرت خفاش­ هايي است که در اين کشور فراواني بالايي داشته و سالانه در همين جهت مهاجرت مي­ کنند (شکل 5-13 را ببينيد). هر چند بررسي توزيع جهت­ دار بیشتر در مورد عوارض نقطه ­اي به کار مي­ رود، اما توزيع جهت­ دار عوارض خطي و سطحی را هم مي ­توان مورد بررسي قرار داد (وانگ و همکاران، 2015).

با در نظر گرفتن n عارضه نقطه ­اي، براي تهيه بيضي انحراف استاندارد ابتدا انحراف معيار در جهت X و سپس انحراف معيار در جهت y محاسبه مي شود:

مسلماً در مورد عوارض خطي و سطحي، مرکز ثقل عوارض در محاسبات مدنظر قرار مي ­گيرد. برای تعیین انحراف عارضه ­ها از محور بزرگ بيضي استاندارد، از زاویه ­ای به نام زاویه چرخش استفاده مي ­شود:

که B ،A و C را مي­ توان از روابط زير محاسبه کرد:

که در اینجا x ̃i و y ̃i اختلاف بین مختصات X و y هر عارضه از نقطه میانگین مکاني است. در اين حالت انحرافات استاندارد برای محورهای X و y به صورت زیر به دست می­ آید:

در صورتی­ که علاوه بر مختصات مکانی عارضه، ويژگي يا ويژگي­ هاي آن نیز مدنظر باشد، بیضی انحراف استاندارد وزنی تهيه مي­ شود (چو، 1966).

همچنين گاهي اوقات چندين بيضي انحراف استاندارد تهيه مي ­شود. که ممکن است از نظر شکل و اندازه متفاوت باشند و با يکديگر تداخل و همپوشاني داشته باشند. به عنوان مثال دیرک و همکاران (2008) پراکنش مکاني مبتلايان به بيماري مالاريا در استان جارخند هند را در سه سال 2007، 2008 و 2009 مورد بررسي قرار داده و براي هر سال يک بيضي انحراف استاندارد ترسيم نمودند. همه اين بيضي­ ها نشان دهنده روند شمال غرب-جنوب شرق مي­ باشند، هر چند که از نظر اندازه متفاوت هستند ولی با يکديگر داراي همپوشاني مي­ باشند (شکل 5-14).

ميانگين جهت ­دار

در صورتي­ که عوارض مورد بررسي از نوع خطي باشند (برای نمونه رودخانه، گسل و …)، مي­ توان روند ميانگين عوارض خطي را با استفاده از روابط زير مورد محاسبه قرار داد:

در رابطه فوق LDM میانگین جهت و سمت خطوط است. θi در واقع جهت مجموعه ­ای از خطوط از نقطه مبدأ آن­ها می­ باشد (بران، 1979). در اینجا تعدادی عملیات تطبیقی لازم است صورت پذیرد که به شرح زیر است.

شکل 5-15 توزیع میانگین جهت خطوط در عوارض خطی را نشان می ­دهد. همان طور که که در شکل هم مشاهده می ­شود همه جهات و طول های به دست آمده از عارضه مورد بررسی یکسان نیستند، با یک میانگین­ گیری ساده جهت و طول متوسط به دست می­ آید (گاتو،2009).

يکي از کاربردهاي ميانگين جهت ­دار خطوط، بررسي روند ميانگين جهت ­دار عوارض خطي بر روي زمين مي ­باشد. براي نمونه در استان فارس گسل­ هايي وجود دارد که معمولاً در جهت رشته کوه زاگرس و به موازات اين چين­ خوردگي ­ها داراي روند شمال غرب- جنوب شرق مي ­باشند. همچنين رودخانه ­هاي اصلي اين استان نيز عمدتاً به موازات درّه ­هاي شمال غربي-جنوب شرقي زاگرس جريان دارند. در شکل زير ميانگين جهت­ دار گسل ­ها و رودخانه ­هاي اصلي استان فارس نشان داده شده است که هر دو بيانگر راستاي يکسان در جهت شمال غرب-جنوب شرق هستند. البته طول گسل­ ها متفاوت از رودخانه­ هاست و اين موضوع باعث تفاوت اندازه در بردار برآيند شده است.

مفهوم واریانس دایره ­ای در میانگین جهت ­دار

واریانس دایره ­ای همانند واریانس در آمار کلاسیک در حقیقت نشان می­ دهد که میانگین جهت خطی تا چه اندازه نماینده خطوطی است که مشاهده می­ شوند. یا به عبارتی دیگر خطوط از نقطه تعادل (میانگین) چقدر فاصله گرفته ­اند (گاتو،2007). واریانس دایره ­ای به صورت زیر محاسبه می­ شود.

مقدار واریانس دایره ­ای بین بازه صفر تا یک می ­باشد. واریانس دایره ­ای زمانی صفر می­ شود که همه خطوط مشاهده شده دارای جهت یکسان و یا کاملاً یکسان باشند بنابراین در این صورت پراکندگی برابر صفر است. و زمانی که خطوط مشاهده شده هر یک دارای جهت متفاوت باشند پراکندگی برابر یک خواهد شد (ماردیا، 2000).