9.5.1 نتایج رگرسیون جهانی

برای به دست آوردن درک بهتری از این روابط، می‌توانیم نرخ بروز COVID-19 را بر اساس مجموعه‌ای از عوامل که تفاوت‌ها را در مناطق مختلف نشان می‌دهند، کاهش دهیم. برای تمرکز بر توصیف GWR، تحلیل خود را ساده نگه می داریم و نرخ بروز COVID-19 را به عنوان تابعی از سهم جمعیت قومی غیرسفید پوست و جمعیتی که از بیماری طولانی مدت رنج می برند با تخمین مدل رگرسیون خطی OLS زیر مطالعه می کنیم:

# attach data
attach(utla_shp)

# specify a model equation
eq1 <- covid19_r ~ ethnic + lt_illness
model1 <- lm(formula = eq1, data = utla_shp)

# estimates
summary(model1)

## 
## Call:
## lm(formula = eq1, data = utla_shp)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -109.234  -38.386   -4.879   29.284  143.786 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)    63.77      30.13   2.117    0.036 *  
## ethnic        271.10      30.65   8.845 2.64e-15 ***
## lt_illness    216.20     151.88   1.424    0.157    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 51 on 147 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3926, Adjusted R-squared:  0.3844 
## F-statistic: 47.52 on 2 and 147 DF,  p-value: < 2.2e-16

ما همچنین VIF ها را برای متغیرهای مدل محاسبه می کنیم:

vif(model1)

##     ethnic lt_illness 
##    1.43015    1.43015

نتایج رگرسیون نشان می دهد که یک رابطه مثبت بین سهم جمعیت غیرسفید پوست و افزایش خطر ابتلا به عفونت COVID-19 وجود دارد. افزایش یک درصدی در سهم جمعیت غیرسفیدپوست، افزایش 271 درصدی در تعداد تجمعی عفونت کووید-19 به ازای هر 100000 نفر را نشان می‌دهد، بقیه موارد ثابت است. نتایج همچنین یک رابطه مثبت (البته از نظر آماری ناچیز) را بین سهم جمعیت مبتلا به بیماری درازمدت و افزایش خطر ابتلا به عفونت COVID-19 پس از کنترل سهم جمعیت غیرسفید پوست نشان می‌دهد و در نتیجه شک ما را در مورد محدودیت‌های بیماری تأیید می‌کند. ضرایب همبستگی; یعنی زمانی که تفاوت در سهم جمعیت غیر سفیدپوست در نظر گرفته شود، ارتباط بین سهم جمعیتی که از بیماری طولانی مدت رنج می برند و افزایش خطر ابتلا به عفونت COVID-19 مثبت می شود. ما همچنین چند خطی بودن را آزمایش می کنیم. VIF ها زیر 10 هستند که نشان می دهد چند خطی بودن خیلی مشکل ساز نیست.

\ (${\mathrm{آر}}^2$مقدار رگرسیون OLS 0.393 است که نشان می‌دهد مدل ما تنها 39 درصد از واریانس نرخ عفونت COVID-19 را توضیح می‌دهد. این امر 71 درصد از واریانس را بدون توضیح باقی می گذارد. برخی از این واریانس غیرقابل توضیح می‌تواند به این دلیل باشد که ما فقط دو متغیر توضیحی را در مدل خود گنجانده‌ایم، اما همچنین به این دلیل که مدل رگرسیون OLS فرض می‌کند که روابط در مدل در فضا ثابت است. یعنی یک فرآیند ثابت را فرض می کند. از این رو، یک مدل رگرسیون OLS برای گرفتن روابط جهانی در نظر گرفته می شود. با این حال، روابط ممکن است در فضا متفاوت باشد. به عنوان مثال، فرض کنید که در سراسر انگلستان تغییرات رفتاری ذاتی وجود دارد و مردم در برخی مناطق نسبت به سایر مناطق به شدت به اقدامات خود انزوا و فاصله گذاری اجتماعی پایبند بوده اند. یا اینکه اقلیت‌های قومی کمتر در معرض ابتلا به COVID-19 در بخش‌های خاصی از انگلستان هستند. اگر چنین تغییراتی در ارتباطات در فضا وجود داشته باشد، مدل تخمینی OLS ما یک تعریف نادرست از واقعیت خواهد بود زیرا این روابط را ثابت فرض می‌کند.

برای درک بهتر این مشخصات نادرست بالقوه، ما باقیمانده‌های مدل را بررسی می‌کنیم که تنوع بالایی را نشان می‌دهند (به زیر مراجعه کنید). توزیع غیرتصادفی است و باقیمانده‌های مثبت بزرگ را در مناطق شهری لندن، لیورپول، نیوکاسل (در رنگ‌های روشن) و ناحیه دریاچه و باقیمانده‌های منفی بزرگ در بسیاری از انگلستان (به رنگ سیاه) نشان می‌دهد. این با الگوی فضایی موارد تایید شده COVID-19 با غلظت بالا در تعداد محدودی از مناطق شهری مطابقت دارد (به بالا مراجعه کنید). در حالی که نقشه باقیمانده ما نشان می‌دهد که مشکلی در مدل OLS وجود دارد، اما نشان نمی‌دهد که در صورت وجود کدام یک از پارامترهای مدل ممکن است ناپایداری فضایی را نشان دهند. یک راه ساده برای بررسی اینکه آیا روابط مدل‌سازی شده در مدل جهانی OLS ما احتمالاً در فضا ثابت هستند یا خیر، تخمین مدل OLS جداگانه برای هر UTLA در انگلستان است. اما این به وضوح بالاتری نیاز دارد، یعنی داده‌های درون UTLA، و ما فقط یک نقطه داده در هر UTLA داریم.( 2002 ) (2002، p.40-44) رویکردهای جایگزین و محدودیت های آنها را مورد بحث قرار می دهند.

utla_shp$res_m1 <- residuals(model1)

# map
legend_title = expression("OLS residuals")
map_utla = tm_shape(utla_shp) +
 tm_fill(col = "res_m1", title = legend_title, palette = magma(256), style = "cont") + # add fill
 tm_borders(col = "white", lwd = .1) + # add borders
 tm_compass(type = "arrow", position = c("right", "top") , size = 5) + # add compass
 tm_scale_bar(breaks = c(0,1,2), text.size = 0.7, position = c("center", "bottom")) + # add scale bar
 tm_layout(bg.color = "white") # change background colour
map_utla + tm_shape(reg_shp) + # add region boundaries
 tm_borders(col = "white", lwd = .5) # add borders

9.6.1 هسته ثابت یا تطبیقی

یک مسئله کلیدی تصمیم گیری بین دو گزینه هسته فضایی است: یک هسته ثابت یا یک هسته تطبیقی. به طور شهودی، یک هسته ثابت شامل استفاده از یک پهنای باند ثابت برای تعریف منطقه ای در اطراف تمام نقاط رگرسیون همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است. وسعت هسته با فاصله تا یک نقطه رگرسیون معین تعیین می شود، با این که هسته در هر نقطه ای یکسان است. فضا. یک هسته تطبیقی ​​شامل استفاده از پهنای باند متغیر برای تعریف یک منطقه در اطراف نقاط رگرسیون همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است. وسعت هسته با تعداد نزدیکترین همسایگان از یک نقطه رگرسیون معین تعیین می شود. هسته ها دارای پهنای باند بزرگ تری هستند که در آن داده ها پراکنده هستند.

شکل 2. GWR با هسته فضایی تطبیقی. منبع: Fotheringham et al. ( 2002 ، 47) .

9.6.2 پهنای باند بهینه

موضوع دوم، تعریف وسعت منطقه جغرافیایی (یعنی  پهنای باند بهینه ) هسته فضایی است. پهنای باند فاصله ای است که پس از آن مقدار صفر به مشاهدات وزن اختصاص داده می شود. پهنای باند بزرگتر شامل تعداد بیشتری از مشاهدات است که وزن غیر صفر دریافت می کنند و مشاهدات بیشتری برای برازش رگرسیون محلی استفاده می شود.

برای تعیین پهنای باند بهینه، یک رویکرد اعتبارسنجی متقابل اعمال می شود. یعنی برای یک مکان، یک رگرسیون محلی بر اساس پهنای باند معین برازش می شود و برای پیش بینی مقدار متغیر وابسته استفاده می شود. مقدار پیش‌بینی‌شده حاصل برای محاسبه باقی‌مانده مدل استفاده می‌شود. باقیمانده ها با استفاده از یک سری پهنای باند مقایسه می شوند و پهنای باندی که کوچکترین باقی مانده های محلی را برمی گرداند، انتخاب می شوند.

واریانس و تعصب مبادله شود

انتخاب پهنای باند بهینه مستلزم مصالحه بین تعصب و دقت است. به عنوان مثال، پهنای باند بزرگتر شامل استفاده از تعداد بیشتری از مشاهدات برای تناسب با یک رگرسیون محلی است و در نتیجه منجر به کاهش واریانس (یا افزایش دقت) اما بایاس بالای تخمین می شود. از سوی دیگر، پهنای باند بسیار کم شامل استفاده از تعداد بسیار کمی از مشاهدات است که منجر به افزایش واریانس اما سوگیری کوچک می شود. پهنای باند بهینه سازش بین بایاس و واریانس را ارائه می دهد.

9.6.3 شکل هسته فضایی

دو مجموعه کلی از توابع هسته را می توان متمایز کرد: هسته های پیوسته و هسته هایی با پشتیبانی فشرده. هسته های پیوسته برای وزن دهی به تمام مشاهدات در منطقه مورد مطالعه استفاده می شود و شامل توابع هسته یکنواخت، گاوسی و نمایی است. هسته با پشتیبانی فشرده برای تعیین وزن غیر صفر به مشاهدات در فاصله معین و وزن صفر فراتر از آن استفاده می شود. گزارش شده است که شکل هسته باعث تغییرات کوچکی در برآوردهای حاصل می شود (Brunsdon، Fotheringham و Charlton 1998 ) .

9.6.4 انتخاب پهنای باند

حال بیایید یک مدل GWR را پیاده سازی کنیم. اولین مرحله کلیدی، تعریف پهنای باند بهینه است. ما ابتدا استفاده از یک هسته فضایی ثابت را نشان می دهیم.

# find optimal kernel bandwidth using cross validation
fbw <- gwr.sel(eq1, 
 data = utla_shp, 
 coords=cbind( long, lat),
 longlat = TRUE,
 adapt=FALSE, 
 gweight = gwr.Gauss, 
 verbose = FALSE)

# view selected bandwidth
fbw

## [1] 29.30417

# fit a gwr based on fixed bandwidth
fb_gwr <- gwr(eq1, 
 data = utla_shp,
 coords=cbind( long, lat),
 longlat = TRUE,
 bandwidth = fbw, 
 gweight = gwr.Gauss,
 hatmatrix=TRUE, 
 se.fit=TRUE)

fb_gwr

## Call:
## gwr(formula = eq1, data = utla_shp, coords = cbind(long, lat), 
##     bandwidth = fbw, gweight = gwr.Gauss, hatmatrix = TRUE, longlat = TRUE, 
##     se.fit = TRUE)
## Kernel function: gwr.Gauss 
## Fixed bandwidth: 29.30417 
## Summary of GWR coefficient estimates at data points:
##                   Min.   1st Qu.    Median   3rd Qu.      Max.  Global
## X.Intercept.  -187.913   -42.890    93.702   211.685   792.989  63.768
## ethnic        -785.938   104.813   194.609   254.717  1078.854 271.096
## lt_illness   -2599.119  -563.128   128.176   690.603  1507.024 216.198
## Number of data points: 150 
## Effective number of parameters (residual: 2traceS - traceS'S): 57.11019 
## Effective degrees of freedom (residual: 2traceS - traceS'S): 92.88981 
## Sigma (residual: 2traceS - traceS'S): 38.34777 
## Effective number of parameters (model: traceS): 44.65744 
## Effective degrees of freedom (model: traceS): 105.3426 
## Sigma (model: traceS): 36.00992 
## Sigma (ML): 30.17717 
## AICc (GWR p. 61, eq 2.33; p. 96, eq. 4.21): 1580.349 
## AIC (GWR p. 96, eq. 4.22): 1492.465 
## Residual sum of squares: 136599.2 
## Quasi-global R2: 0.7830537

# write gwr output into a data frame
fb_gwr_out <- as.data.frame(fb_gwr$SDF)

utla_shp$fmb_localR2 <- fb_gwr_out$localR2

# map
 # Local R2
legend_title = expression("Fixed: Local R2")
map_fbgwr1 = tm_shape(utla_shp) +
 tm_fill(col = "fmb_localR2", title = legend_title, palette = magma(256), style = "cont") + # add fill
 tm_borders(col = "white", lwd = .1) + # add borders
 tm_compass(type = "arrow", position = c("right", "top") , size = 5) + # add compass
 tm_scale_bar(breaks = c(0,1,2), text.size = 0.7, position = c("center", "bottom")) + # add scale bar
 tm_layout(bg.color = "white") # change background colour
map_fbgwr1 + tm_shape(reg_shp) + # add region boundaries
 tm_borders(col = "white", lwd = .5) # add borders

# find optimal kernel bandwidth using cross validation
abw <- gwr.sel(eq1, 
 data = utla_shp, 
 coords=cbind( long, lat),
 longlat = TRUE,
 adapt = TRUE, 
 gweight = gwr.Gauss, 
 verbose = FALSE)

# view selected bandwidth
abw

## [1] 0.03126972

# fit a gwr based on adaptive bandwidth
ab_gwr <- gwr(eq1, 
 data = utla_shp,
 coords=cbind( long, lat),
 longlat = TRUE,
 adapt = abw, 
 gweight = gwr.Gauss,
 hatmatrix=TRUE, 
 se.fit=TRUE)

ab_gwr

## Call:
## gwr(formula = eq1, data = utla_shp, coords = cbind(long, lat), 
##     gweight = gwr.Gauss, adapt = abw, hatmatrix = TRUE, longlat = TRUE, 
##     se.fit = TRUE)
## Kernel function: gwr.Gauss 
## Adaptive quantile: 0.03126972 (about 4 of 150 data points)
## Summary of GWR coefficient estimates at data points:
##                   Min.   1st Qu.    Median   3rd Qu.      Max.  Global
## X.Intercept.  -198.790   -28.398   113.961   226.437   346.510  63.768
## ethnic        -121.872   106.822   229.591   283.739  1162.123 271.096
## lt_illness   -1907.098  -746.468  -125.855   798.875  1496.549 216.198
## Number of data points: 150 
## Effective number of parameters (residual: 2traceS - traceS'S): 48.59361 
## Effective degrees of freedom (residual: 2traceS - traceS'S): 101.4064 
## Sigma (residual: 2traceS - traceS'S): 36.57493 
## Effective number of parameters (model: traceS): 36.04378 
## Effective degrees of freedom (model: traceS): 113.9562 
## Sigma (model: traceS): 34.50222 
## Sigma (ML): 30.07257 
## AICc (GWR p. 61, eq 2.33; p. 96, eq. 4.21): 1546.029 
## AIC (GWR p. 96, eq. 4.22): 1482.809 
## Residual sum of squares: 135653.9 
## Quasi-global R2: 0.7845551

9.6.5 مناسب مدل

با ارزیابی تناسب جهانی مدل، بهبودهای حاشیه ای مشاهده می شود. و مجموع باقیمانده مربع ها کاهش حاشیه ای را تجربه کردند، در حالی که در مقایسه با GRW بر اساس یک هسته ثابت افزایش یافت. برای درک بهتر این تغییرات، مانند بالا، را برای رگرسیون های محلی تخمین زده شده ترسیم می کنیم.$آ\mathrm{من}\mathrm{سی}$${\mathrm{آر}}^2$${\mathrm{آر}}^2$

# write gwr output into a data frame
ab_gwr_out <- as.data.frame(ab_gwr$SDF)

utla_shp$amb_ethnic <- ab_gwr_out$ethnic
utla_shp$amb_lt_illness <- ab_gwr_out$lt_illness
utla_shp$amb_localR2 <- ab_gwr_out$localR2

# map
 # Local R2
legend_title = expression("Adaptive: Local R2")
map_abgwr1 = tm_shape(utla_shp) +
 tm_fill(col = "amb_localR2", title = legend_title, palette = magma(256), style = "cont") + # add fill
 tm_borders(col = "white", lwd = .1) + # add borders
 tm_compass(type = "arrow", position = c("right", "top") , size = 5) + # add compass
 tm_scale_bar(breaks = c(0,1,2), text.size = 0.7, position = c("center", "bottom")) + # add scale bar
 tm_layout(bg.color = "white") # change background colour
map_abgwr1 + tm_shape(reg_shp) + # add region boundaries
 tm_borders(col = "white", lwd = .5) # add borders

این نقشه پیشرفت های قابل توجهی را در برآوردهای محلی برای UTLA ها در غرب و شرق میدلندز، جنوب شرق، جنوب غرب و شرق انگلستان نشان می دهد. برآوردها هنوز در مورد UTLA های داغ که موارد تایید شده COVID-19 را متمرکز می کنند، مانند مناطق لندن بزرگ، لیورپول و نیوکاسل ضعیف است.

9.6.6 تفسیر

نقطه قوت کلیدی مدل‌های GWR در شناسایی الگوهای تغییرات فضایی در ارتباط بین جفت متغیرها است. نتایج نشان می دهد که چگونه این ضرایب در 150 UTLA انگلستان متفاوت است. برای بررسی این تنوع، اجازه دهید ابتدا بر خروجی GWR تطبیقی ​​که در بخش 8.6.4.2 گزارش شده است، تمرکز کنیم. خروجی شامل خلاصه ای از برآوردهای ضریب GWR در نقاط داده مختلف است. ستون آخر تخمین های کلی را گزارش می دهد که همان ضرایب رگرسیون OLS است که در ابتدای تحلیل خود برازش کردیم. برای جمعیت قومی غیرسفید متغیر ما، خروجی‌های GWR نشان می‌دهد که ضرایب محلی از حداقل مقدار 148.41- تا حداکثر مقدار 1076.84 متغیر است، که نشان می‌دهد افزایش یک درصدی در سهم جمعیت غیرسفیدپوست با کاهش 148 aa مرتبط است. 41 مورد در تعداد انباشته موارد تایید شده COVID-19 در هر 100000 نفر در برخی از UTLA ها و افزایش 1076.84 در برخی دیگر. برای نیمی از UTLA ها در مجموعه داده، با افزایش یک درصدی سهم جمعیت قومی غیرسفیدپوست، نرخ COVID-19 بین 106.29 و 291.24 مورد افزایش خواهد یافت. یعنی محدوده بین چارکی بین Qu 1 و Qu 3. برای تجزیه و تحلیل ساختار فضایی، ضرایب تخمینی به‌دست‌آمده از هسته تطبیقی ​​GWR را نقشه‌برداری می‌کنیم.

 # Ethnic
legend_title = expression("Ethnic")
map_abgwr2 = tm_shape(utla_shp) +
 tm_fill(col = "amb_ethnic", title = legend_title, palette = magma(256), style = "cont") + # add fill
 tm_borders(col = "white", lwd = .1) + # add borders
 tm_compass(type = "arrow", position = c("right", "top") , size = 5) + # add compass
 tm_scale_bar(breaks = c(0,1,2), text.size = 0.7, position = c("center", "bottom")) + # add scale bar
 tm_layout(bg.color = "white") # change background colour
map_abgwr2 = map_abgwr2 + tm_shape(reg_shp) + # add region boundaries
 tm_borders(col = "white", lwd = .5) # add borders

 # Long-term Illness
legend_title = expression("Long-term illness")
map_abgwr3 = tm_shape(utla_shp) +
 tm_fill(col = "amb_lt_illness", title = legend_title, palette = magma(256), style = "cont") + # add fill
 tm_borders(col = "white", lwd = .1) + # add borders
 tm_scale_bar(breaks = c(0,1,2), text.size = 0.7, position = c("center", "bottom")) + # add scale bar
 tm_layout(bg.color = "white") # change background colour
map_abgwr3 = map_abgwr3 + tm_shape(reg_shp) + # add region boundaries
 tm_borders(col = "white", lwd = .5) # add borders

tmap_arrange(map_abgwr2, map_abgwr3)

با تجزیه و تحلیل نقشه برای بیماری های طولانی مدت، می توان یک شکاف واضح شمال-جنوب را شناسایی کرد. در شمال ما رابطه مثبت مورد انتظار بین COVID-19 و بیماری طولانی مدت را مشاهده کردیم، یعنی با افزایش سهم جمعیت محلی که از بیماری طولانی مدت رنج می برند، انتظار می رود تعداد تجمعی موارد مثبت COVID-19 افزایش یابد. در جنوب، ما الگوی معکوس را مشاهده می کنیم، یعنی با افزایش سهم جمعیت محلی که از بیماری طولانی مدت رنج می برند، انتظار می رود تعداد تجمعی موارد مثبت COVID-19 کاهش یابد. این الگو خلاف واقع است، اما ممکن است با معایب گسترده‌تر اجتماعی-اقتصادی بین شمال و جنوب انگلستان توضیح داده شود.(رو، پاتیاس و آریباس-بل 2020 ) .

9.6.7 ارزیابی اهمیت آماری

در حالی که نقشه‌های بالا بینش‌های ارزشمندی برای درک الگوهای فضایی روابط ارائه می‌دهند، اما مشخص نمی‌کنند که آیا این ارتباط‌ها از نظر آماری معنادار هستند یا خیر. آنها ممکن است نباشند. به طور تقریبی، اگر یک برآورد ضریب دارای مقدار مطلق t بزرگتر از 1.96 باشد و نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد، از نظر آماری معنادار است. نمونه ما فقط 150 مشاهدات دارد، بنابراین ما محافظه کارتر هستیم و اگر مقدار مطلق t بزرگتر از 2 باشد، یک ضریب را از نظر آماری معنادار در نظر می گیریم. همچنین توجه داشته باشید که مقادیر p را می توان محاسبه کرد – به لو و همکاران مراجعه کنید. ( 2014 ) .

# compute t statistic
utla_shp$t_ethnic = ab_gwr_out$ethnic / ab_gwr_out$ethnic_se

# categorise t values
utla_shp$t_ethnic_cat <- cut(utla_shp$t_ethnic,
 breaks=c(min(utla_shp$t_ethnic), -2, 2, max(utla_shp$t_ethnic)),
 labels=c("sig","nonsig", "sig"))

# map statistically significant coefs for ethnic
legend_title = expression("Ethnic: significant")
map_sig = tm_shape(utla_shp) + 
 tm_fill(col = "t_ethnic_cat", title = legend_title, legend.hist = TRUE, midpoint = NA, textNA = "", colorNA = "white") + # add fill
 tm_borders(col = "white", lwd = .1) + # add borders
 tm_compass(type = "arrow", position = c("right", "top") , size = 5) + # add compass
 tm_scale_bar(breaks = c(0,1,2), text.size = 0.7, position = c("center", "bottom")) + # add scale bar
 tm_layout(bg.color = "white", legend.outside = TRUE) # change background colour & place legend outside

map_sig + tm_shape(reg_shp) + # add region boundaries
 tm_borders(col = "white", lwd = .5) # add borders

# utla count
table(utla_shp$t_ethnic_cat)

## 
##    sig nonsig 
##    105     45

برای سهم جمعیت غیرسفید پوست، 67 درصد از کل ضرایب محلی از نظر آماری معنادار است و این ضرایب عمدتاً در جنوب انگلستان است. ضرایب در شمال معمولاً ناچیز است. از طریق نقاط پرت در هر دو منطقه وجود دارد. در جنوب، ضرایب غیر قابل توجهی در مناطق شهری لندن، بیرمنگام و ناتینگهام مشاهده می شود، در حالی که ضرایب قابل توجهی در مناطق نیوکاسل و میدلزبرو در شمال وجود دارد.

چالش 3 مقادیر t را برای رهگیری و ضریب تخمینی برای بیماری طولانی مدت محاسبه کنید و نقشه هایی از اهمیت آماری آنها ایجاد کنید. چند UTLA ضرایب آماری معنی دار را گزارش می کنند؟

9.6.8 همخطی در GWR

نکته پایانی مهم این است: هم خطی در مدل های GWR مشکل ساز است. می تواند در زیر مجموعه داده ها برای تخمین ضرایب محلی وجود داشته باشد، حتی زمانی که در سطح جهانی Wheeler and Tiefelsdorf ( 2005 ) مشاهده نمی شود . همخطی می تواند در مورد پیش بینی کننده های ترکیبی، طبقه ای و ترتیبی بسیار مشکل ساز باشد و ممکن است منجر به همخطی دقیق محلی شود که جستجو برای پهنای باند بهینه را غیرممکن می کند. یک مقاله اخیر راه های بالقوه رو به جلو را پیشنهاد می کند (کامبر و همکاران 2020 ) .