روشهاي جبري (يا قطعي[1])
در اين روشها با پيادهسازي توابع رياضياتي بر روي نقاط معلوم، مقدار يا مقادير در نقطه يا نقاط مجهول محاسبه ميشود. نتيجه روشهاي مزبور ايجاد سطوحي پيوسته از مقادير ميباشد. در اين نوع درونيابي فرض بر آن است که تخمين مقدار مجهول به صورت قطعي انجام شده و با خطا مواجه نيست بنابراين اين روشها، روشهايي غيراحتمالاتي محـسوب ميشـوند. اگر فرض شـود که تخمــين مقادير مجهول بايستي بدون خطا انجام شـود، آنگاه تابع درونيابي به گونهاي تعيين ميشود که مقادير برآوردي دقيقاً با مقادير نقاط معلوم برابر شوند (قهرودي و بابايي، 1393).
شکل5-4: درونيابي دادههاي ارتفاعي و ايجاد سطح ارتفاعي با روش چندضلعيهاي تيسن
البته در عمل هيچگاه هيچگونه تخمين دقيقي نميتوان انجام داد و همواره مقداري خطا وجود دارد. لذا روشهاي درونيابي جبري تنها زماني سودمند هستند که مقدار خطاي اندازهگيري به اندازه کافي کوچک باشد. مهمترين روشهاي درونيابي جبري را به صورت زير ميتوان دستهبندي کرد:
در اين روشها با پيادهسازي توابع رياضياتي بر روي نقاط معلوم، مقدار يا مقادير در نقطه يا نقاط مجهول محاسبه ميشود. نتيجه روشهاي مزبور ايجاد سطوحي پيوسته از مقادير ميباشد. در اين نوع درونيابي فرض بر آن است که تخمين مقدار مجهول بهصورت قطعي انجام شده و با خطا مواجه نيست بنابراين اين روشها، روشهايي غيراحتمالاتي محـسوب ميشـوند. اگر فرض شـود که تخمــين مقادير مجهول بايستي بدون خطا انجام شـود، آنگاه تابع درونيابي بهگونهاي تعيين ميشود که مقادير برآوردي دقيقاً با مقادير نقاط معلوم برابر شوند (قهرودي و بابايي، 1393).
شکل5-5: درونيابي دادههاي ارتفاعي و ايجاد سطح ارتفاعي با روش چندضلعيهاي تيسن
البته در عمل هيچگاه هيچگونه تخمين دقيقي نميتوان انجام داد و همواره مقداري خطا وجود دارد. لذا روشهاي درونيابي جبري تنها زماني سودمند هستند که مقدار خطاي اندازهگيري به اندازه کافي کوچک باشد. مهمترين روشهاي درونيابي جبري را به صورت زير ميتوان دستهبندي کرد:
[1] Deterministic
5-3-2-1 روش درونيابي چندجملهاي[1] (يا تابع روند[2])
در اين روش يک سطح برازش به گونهاي از بين نقاط معلوم عبور داده ميشود که 50 درصد نقاط بالاتر از اين سطح و 50 درصد پايينتر از آن قرار داشته باشند. سطح مزبور داراي يک معادله چندجملهاي بين متغيرهاي ، و است. و موقعيت نقاط و مقدار متغير مورد بررسي در نقطه ميباشد. حال کافي است براي تخمين مقدار (مقدار در نقطه مجهول)، مقادير و را در معادله سطح برازش قرار داده و معادله را حل کرد. با توجه به پراکنش نقاط معلوم و دامنه تغييرات مقادير، از دو روش درونيابي چندجملهاي استفاده ميشود:
الف) درونيابي چندجملهاي عمومي[3]
در صورتيکه محدوده تغييرات مقادير معلوم، چندان زياد نباشد (سطح هموار باشد) و اين تغيير از روند خاصي تبعيت کند، سطح برازش با يک روند رياضياتي از بين تمامي نقاط معلوم عبور داده ميشود و معادلهاي ساده با ضرايب غيرمتعدد بهدست خواهد آمد. مثلاً اگر در چند نقطه از يک سطح شيبدار مقدار ارتفاع را اندازهگيري کرده باشيد و بخواهيد سطح شيبدار را با درونيابي مدلسازي کنيد، کافي است يک سطح با معادله درجه 1 از بين اين نقاط برازش دهيد. اگر منطقه پيمايش شده به شکل درّه يا تپه باشد، معادله چندجملهاي درجه 2 و در صورتيکه ترکيبي از يک درّه و تپه مد نظر باشد، معادله درجه 3 به کار گرفته ميشود. در شکل 5-6 انواع مختلف سطوح برازش که با چندجملهايهاي عمومي به دست آمدهاند نشان داده شده است. در
صورتيکه از سطح برازش يک مقطع دوبعدي تهيه شود، معادله سطح به معادله خط (منحني) برازش تغيير يافته و متغير يا از معادله سطح حذف ميشود. براي نمونه در شکل 5-7 منحني برازش چندجملهاي درجه 3 نشان داده شده است.
ب) درونيابي چندجملهاي محلي[4]
در صورتيکه دامنه تغييرات مقادير معلوم زياد باشد و اين تغييرات از روند يا روندهاي خاصي تبعيت کند، براي درونيابي دادهها از درونيابي چندجملهاي محلي استفاده ميشود. فرض کنيد نقاط ارتفاعي را در تپهاي مشابه با آن چه در شکل 5-8 ميبينيد، برداشت کردهايد. اين تپه از پايين به بالا از سه سطح شيبدار با شيبهاي مخـتلف تشکيل شده است. اگر بخواهيد به روش چندجملهاي عمومي، سطح برازشي از بين نقاط معلوم عبور داده و پستي و بلندي تپه مزبور را مدلسازي کنيد، نتيجه حاصله نميتواند بازگو کننده سطح واقعي تپه باشد.
شکل 5-6: سطوح حاصل از درونيابي نقاط ارتفاعي به روش چندجملهاي عمومي
شکل 5-7: منحني برازش حاصل از درونيابي به روش چندجملهاي عمومي درجه 3
در اين حالت لازم است معادله برازشي به دست آيد که ترکيبي از سه سطح برازش با معادلات مختلف است. به عبارتي در اين مورد نياز به درونيابي چندجملهاي محلي ميباشد.
شکل 5-8: سطح حاصل از درونيابي چند جملهاي محلي و نيمرخ دو بعدي آن، تا مقادير ارتفاع در نقاط معلوم ميباشد.
[1] Polynomial Interpolation
[2] Trend Function
[3] Global Polynomial Interpolation
[4] Local Polynomial Interpolation
برگرفته از : کتاب آمار فضایی (تحلیل داده های مکانی)
نویسندگان: سعید جوی زاده, ساره حدادی, محمد صادق درانی نژاد
انتشارات آکادمیک تهران
تلفن تماس سفارش کتاب: 09382252774
وبسایت آموزشی: www.gisland.org
لینک سفارش کتاب: https://ketabpage.ir/shop/