روشهای درونیابی (قسمت دوم)روش­هاي جبري يا قطعي

روش­هاي جبري (يا قطعي^[1])

در اين روش­ها با پياده­سازي توابع رياضياتي بر روي نقاط معلوم، مقدار يا مقادير در نقطه يا نقاط مجهول محاسبه مي­شود. نتيجه روش­هاي مزبور ايجاد سطوحي پيوسته از مقادير مي­باشد. در اين نوع درونيابي فرض بر آن است که تخمين مقدار مجهول به­ صورت قطعي انجام شده و با خطا مواجه نيست بنابراين اين روش­ها، روش­هايي غيراحتمالاتي محـسوب مي­شـوند. اگر فرض شـود که تخمــين مقادير مجهول بايستي بدون خطا انجام شـود، آن­گاه تابع درونيابي به گونه­اي تعيين مي­شود که مقادير برآوردي دقيقاً با مقادير نقاط معلوم برابر شوند (قهرودي و بابايي، 1393).

روشهای درون یابی

شکل5-4: درونيابي داده­هاي ارتفاعي و ايجاد سطح ارتفاعي با روش چندضلعي­هاي تيسن

البته در عمل هيچ­گاه هيچ­گونه تخمين دقيقي نمي­توان انجام داد و همواره مقداري خطا وجود دارد. لذا روش­هاي درونيابي جبري تنها زماني سودمند هستند که مقدار خطاي اندازه­گيري به اندازه کافي کوچک باشد. مهمترين روش­هاي درونيابي جبري را به صورت زير مي­توان دسته­بندي کرد:

در اين روش­ها با پياده­سازي توابع رياضياتي بر روي نقاط معلوم، مقدار يا مقادير در نقطه يا نقاط مجهول محاسبه مي­شود. نتيجه روش­هاي مزبور ايجاد سطوحي پيوسته از مقادير مي­باشد. در اين نوع درونيابي فرض بر آن است که تخمين مقدار مجهول به­صورت قطعي انجام شده و با خطا مواجه نيست بنابراين اين روش­ها، روش­هايي غيراحتمالاتي محـسوب مي­شـوند. اگر فرض شـود که تخمــين مقادير مجهول بايستي بدون خطا انجام شـود، آن­گاه تابع درونيابي به­گونه­اي تعيين مي­شود که مقادير برآوردي دقيقاً با مقادير نقاط معلوم برابر شوند (قهرودي و بابايي، 1393).

روشهای درون یابی

شکل5-5: درونيابي داده­هاي ارتفاعي و ايجاد سطح ارتفاعي با روش چندضلعي­هاي تيسن

البته در عمل هيچ­گاه هيچ­گونه تخمين دقيقي نمي­توان انجام داد و همواره مقداري خطا وجود دارد. لذا روش­هاي درونيابي جبري تنها زماني سودمند هستند که مقدار خطاي اندازه­گيري به اندازه کافي کوچک باشد. مهمترين روش­هاي درونيابي جبري را به صورت زير مي­توان دسته­بندي کرد:

[1] Deterministic

5-3-2-1 روش درونيابي چندجمله­اي^[1] (يا تابع روند^[2])

در اين روش يک سطح برازش به گونه­اي از بين نقاط معلوم عبور داده مي­شود که 50 درصد نقاط بالاتر از اين سطح و 50 درصد پايين­تر از آن قرار داشته باشند. سطح مزبور داراي يک معادله چندجمله­اي بين متغيرهاي ،  و  است.  و  موقعيت نقاط و  مقدار متغير مورد بررسي در نقطه  مي­باشد. حال کافي است براي تخمين مقدار (مقدار در نقطه مجهول)، مقادير  و  را در معادله سطح برازش قرار داده و معادله را حل کرد. با توجه به پراکنش نقاط معلوم و دامنه تغييرات مقادير، از دو روش درونيابي چندجمله­اي استفاده مي­شود:

الف) درونيابي چندجمله­اي عمومي^[3]

در صورتي­که محدوده تغييرات مقادير معلوم، چندان زياد نباشد (سطح هموار باشد) و اين تغيير از روند خاصي تبعيت کند، سطح برازش با يک روند رياضياتي از بين تمامي نقاط معلوم عبور داده مي­شود و معادله­اي ساده با ضرايب غيرمتعدد به­دست خواهد آمد. مثلاً اگر در چند نقطه از يک سطح شيب­دار مقدار ارتفاع را اندازه­گيري کرده باشيد و بخواهيد سطح شيب­دار را با درونيابي مدلسازي کنيد، کافي است يک سطح با معادله درجه 1 از بين اين نقاط برازش دهيد. اگر منطقه پيمايش شده به شکل درّه يا تپه باشد، معادله چندجمله­اي درجه 2 و در صورتي­که ترکيبي از يک درّه و تپه مد نظر باشد، معادله درجه 3 به کار گرفته مي­شود. در شکل 5-6 انواع مختلف سطوح برازش که با چندجمله­اي­هاي عمومي به دست آمده­اند نشان داده شده است. در
صورتي­که از سطح برازش يک مقطع دوبعدي تهيه شود، معادله سطح به معادله خط (منحني) برازش تغيير يافته و متغير  يا  از معادله سطح حذف مي­شود. براي نمونه در شکل 5-7 منحني برازش چندجمله­اي درجه 3 نشان داده شده است.

ب) درونيابي چندجمله­اي محلي^[4]

در صورتي­که دامنه تغييرات مقادير معلوم زياد باشد و اين تغييرات از روند يا روندهاي خاصي تبعيت کند، براي درونيابي داده­ها از درونيابي چند­جمله­اي محلي استفاده مي­شود. فرض کنيد نقاط ارتفاعي را در تپه­اي مشابه با آن چه در شکل 5-8 مي­بينيد، برداشت کرده­ايد. اين تپه از پايين به بالا از سه سطح شيب­دار با شيب­هاي مخـتلف تشکيل شده است. اگر بخواهيد به روش چندجمله­اي عمومي، سطح برازشي از بين نقاط معلوم عبور داده و پستي و بلندي تپه مزبور را مدلسازي کنيد، نتيجه حاصله نمي­تواند بازگو کننده سطح واقعي تپه باشد.

روشهای درون یابی

شکل 5-6: سطوح حاصل از درونيابي نقاط ارتفاعي به روش چندجمله­اي عمومي

روشهای درون یابی

شکل 5-7: منحني برازش حاصل از درونيابي به روش چندجمله­اي عمومي درجه 3

در اين حالت لازم است معادله برازشي به دست آيد که ترکيبي از سه سطح برازش با معادلات مختلف است. به عبارتي در اين مورد نياز به درونيابي چندجمله­اي محلي مي­باشد.

روشهای درون یابی

شکل 5-8: سطح حاصل از درونيابي چند جمله­اي محلي و نيمرخ دو بعدي آن،  تا  مقادير ارتفاع در نقاط معلوم مي­باشد.

[1] Polynomial Interpolation

[2] Trend Function

[3] Global Polynomial Interpolation

[4] Local Polynomial Interpolation

برگرفته از : کتاب آمار فضایی (تحلیل داده های مکانی)

نویسندگان: سعید جوی زاده, ساره حدادی, محمد صادق درانی نژاد

انتشارات آکادمیک تهران

تلفن تماس سفارش کتاب:  09382252774

وبسایت آموزشی:  www.gisland.org

لینک سفارش کتاب:   http://ketabpage.ir/shop/