نقشه برداری بازسازی از داده های آب زیرزمینی نمونه برداری پراکنده با استفاده از سنجش فشاری

 

سنجش فشاری روشی قدرتمند برای بازسازی داده‌های پراکنده بر اساس بهینه‌سازی آماری است. می توان آن را برای طیف وسیعی از داده های اندازه گیری جریان و تجسم اعمال کرد، و در این کار ما استفاده در نقشه برداری آب های زیرزمینی را نشان می دهیم. با توجه به کمبود آب در بسیاری از مناطق جهان از جمله جنوب غربی ایالات متحده، نظارت و مدیریت آب های زیرزمینی از اهمیت بالایی برخوردار است. نقشه برداری کامل از آب های زیرزمینی دشوار است زیرا مکان های نظارت شده از یکدیگر دور هستند و بنابراین مجموعه داده ها بسیار “پراکنده” در نظر گرفته می شوند. برای غلبه بر این مشکل در نقشه برداری کامل از آب های زیرزمینی، سنجش فشاری یک ابزار ایده آل است، زیرا معیار کلاسیک Nyquist را دور می زند. ما نشان می‌دهیم که سنجش فشاری می‌تواند به طور موثر برای بازسازی نقشه‌های سطح آب زیرزمینی، با اعتبارسنجی در برابر داده‌ها استفاده شود.

کلید واژه ها

داده های تجسم ، سنجش فشرده ، بازسازی ، نقشه برداری

1. مقدمه

آب شیرین برای زندگی پایدار، رشد اقتصادی، ثبات اجتماعی و سلامت عمومی حیاتی است [ 1]. برای مدیریت و توزیع آب زیرزمینی، نظارت دقیق از اهمیت بالایی برخوردار است. با این حال، روش‌های موجود مانند حفاری پرهزینه و نفوذی هستند، و روش‌های جایگزین مانند ثقل‌سنجی و لرزه‌نگاری نیز پرهزینه هستند، در معرض خطا و محدود در برد هستند. بنابراین، روشی برای ترسیم توزیع کامل آب های زیرزمینی بر اساس مجموعه داده های پراکنده، دارایی فوق العاده ای در مدیریت آب های زیرزمینی خواهد بود. در اینجا، ما استفاده از سنجش فشرده (CS) را برای تولید نقشه‌های خطوط دقیق سطح آب‌های زیرزمینی بر اساس داده‌های پراکنده یا ناقص معرفی می‌کنیم. سنجش فشاری برای فناوری پردازش سیگنال/تصویر ایجاد شده است تا بازسازی سیگنال منبع را بر اساس داده‌های نمونه‌گیری پراکنده، بسیار پایین‌تر از معیار Nyquist، امکان‌پذیر سازد.2 ]. در اینجا، ما نشان می‌دهیم که سنجش فشاری همچنین می‌تواند برای تولید نقشه‌های دقیق سطح آب زیرزمینی از داده‌های نمونه‌گیری پراکنده، با استفاده از داده‌های اندازه‌گیری مستقیم در آریزونا و در سایر بخش‌های جنوب غربی ایالات متحده (کالیفرنیا، نوادا، یوتا و کلرادو) استفاده شود. این روش با روش درون یابی مرسوم مانند کریجینگ مقایسه می شود که نشان می دهد سنجش فشاری با یک حاشیه بزرگ بهتر عمل می کند.

سنجش فشاری یک روش قدرتمند است که امکان بازیابی سیگنال‌های واقعی را از نمونه‌های بسیار کمتری نسبت به آنچه طبق قضیه نمونه‌گیری نایکویست-شانون [ 3 ] امکان‌پذیر است، فراهم می‌کند. قضیه نمونه‌گیری نایکویست-شانون بیان می‌کند که اگر تابع f ( t ) فرکانس‌های بالاتر از υ هرتز نداشته باشد، ردیابی مختصات آن در یک سری نقاط (با فاصله حداقل 1/2 υ ثانیه از هم) f ( t ) را تعیین می‌کند.) کاملا این نیاز، نقشه‌برداری کامل داده‌ها را محدود می‌کرد، مگر اینکه داده‌هایی با فواصل بسیار فشرده، چه در مکان و چه در زمان، نمونه‌برداری شوند. سنجش فشاری، در این راستا، یک روش فراتر است که در ابتدا در پردازش تصویر توسعه یافت، که در آن مقدار بسیار کمی از داده ها را می توان به طور موثر برای بازسازی نقشه کامل استفاده کرد [ 3 ]. حسگر فشرده به روشی مشابه (اما مخالف) با روش های فشرده سازی تصویر مانند پروتکل JPEG عمل می کند. سیگنال f ( x )، به طور کلی، می تواند در یک سری از توابع متعامد، Ψ _i (مثلا سری فوریه توابع سینوسی) بیان شود.

f( x ) =∑i = 1nجمنψمن( x )f(x)=∑i=1nciψi(x)(1)

برای بیشتر سیگنال‌ها، تنها تعداد کمی از ضرایب c _i دارای مقدار قابل‌توجهی هستند و بسیاری از ضرایب دیگر را می‌توان با از دست دادن اطلاعات ناچیز کنار گذاشت. فشرده‌سازی تصویر با داشتن داده‌های کامل، f ( x )، و ارزیابی ضرایب، c _i ، پیشینی کار می‌کند . از آنجایی که داده‌های تصویر کامل در طول فشرده‌سازی تصویر استفاده می‌شوند، کل f ( x ) برای تجزیه و ترکیب (معادله (1)) برای یافتن c _i ، از طریق تبدیل فوریه، برای مثال، در دسترس است. از مجموعه ضرایب، فقط مهم ترین c _{i است}اصطلاحات حفظ می شوند، برای بازسازی بعدی، که چگونه فشرده سازی/بازسازی تصویر کار می کند. سنجش فشاری از این مفهوم با تلاش برای یافتن این مجموعه ضریب، c _i ، در غیاب داده‌های کامل بهره می‌برد. بنابراین، یک الگوریتم برای “بازیابی” ci _، از سیگنال کم نمونه، f ( x ) در معادله (1)، با این شرط که ماتریس ضریب باید ویژگی‌های خاصی مانند تعداد کمی از عبارت‌های غالب داشته باشد، مورد نیاز است. به دلیل نمونه گیری کم f ( xمعادله یا سیستم معادلات مانند معادله (1) با یک محدودیت (شرطی که ماتریس باید از آن پیروی کند) بسیار نامشخص است. برای این نوع مسائل، روش‌های عددی بسیار مؤثر مانند l1- بهینه‌سازی، تعقیب گرادیان یا سایر الگوریتم‌های بهینه‌سازی محدب توسعه داده شده است [ 4 ] – [ 12 ].]. اگرچه معادله (1) به صورت یک بعدی برای اهداف تصویری نوشته شده است، این روش به راحتی به دو بعدی قابل ترجمه است، البته در اندازه ماتریس و زمان محاسباتی بزرگتر. در اینجا، ما نشان می‌دهیم که سنجش فشاری را می‌توان برای ساخت نقشه‌برداری آب زیرزمینی با داده‌های نمونه‌برداری شده بسیار کمتر از آنچه که به طور کلاسیک تصور می‌شد استفاده کرد (معیار نایکیست). سنجش فشاری اکنون در بسیاری از کاربردهای آنالیز تصویر و سایر حوزه‌ها کاملاً تثبیت شده است [ 2 ] [ 4 ] – [ 12 ].

حسگر فشاری البته بدون محدودیت نیست و برای کارکرد به معیارهای زیر در کاربردهایی مانند نقشه برداری آب زیرزمینی نیاز دارد:

1) پایگاه داده شبکه آب زیرزمینی مورد نظر “تراکم پذیر” است، به این معنی که داده های گسسته (در مکان های کاوشگر با فاصله کم) را می توان به عنوان یک سری توابع متعامد (مانند تابع سینوسی در یک سری فوریه) تقریب زد. بر اساس کار با اکثر پایگاه داده‌های شبکه آب زیرزمینی، متوجه می‌شویم که این شرایط برآورده می‌شود زیرا بیشتر سیگنال‌های پیوسته را می‌توان با دقت معقولی با استفاده از سری کوتاه فوریه بیان کرد.

2) شرط دوم مربوط به ماتریس ضریب، c _i در معادله (1) به عنوان مثال است. این ماتریس باید تعداد نسبتاً کمی از اصطلاحات غالب داشته باشد، به طوری که ماتریس نامشخص را بتوان به صورت عددی تحت محدودیت “تراکم پذیری” یافت. مجدداً، آزمایشات با پایگاه داده آب های زیرزمینی نشان می دهد که این شرط نیز برآورده می شود. جزئیات فنی را می توان در پیوست و در مراجع ذکر شده در بالا یافت.

اگر معیارهای بالا برآورده شوند، الگوریتم‌های عددی مانند روال‌های بهینه‌سازی l1 یا بهینه‌سازی تغییرات کل می‌توانند برای یافتن ماتریس داده‌های بسیار کم‌تعیین‌شده بر اساس داده‌های ورودی پراکنده استفاده شوند. روش های محاسباتی گام به گام مورد استفاده در این کار از Boyd and Vandenberghe [ 13 ] و Candes و همکاران پیروی می کند. [ 3 ].

2. سنجش فشاری برای نقشه برداری بازسازی کننده آب های زیرزمینی

برای نشان دادن تکنیک سنجش فشاری، از یک تصویر MODFLOW نمونه (رزولوشن ۲۵۶ در ۲۵۶ پیکسل یا تعداد کل پیکسل ۶۵۵۳۶) برای سطح آب زیرزمینی در حوضه تجربی فورت کاب مخزن (۷۸۰ کیلومتر مربع ⁾ استفاده می‌شود [ ۱۴ ]، همانطور که نشان داده شده است. در شکل 1 (الف). مکان در جنوب غربی اوکلاهاما، ایالات متحده آمریکا است و منطقه نشان داده شده در شکل 1 (الف) نقشه برداری برای بخشی از آبخوان راش اسپرینگ [ 14 ] را نشان می دهد. جریان های خوراک آب زیرزمینی را تامین می کنند که الگوهای انتشار از آن قابل مشاهده است. ابتدا، ما با نمونه برداری از تنها 2025 مقادیر پیکسل (از مجموع 65536) خطوط نمونه برداری V شکل (هرمی) (جعبه بالایی در شکل 1) شروع می کنیم.(ب)، که نمونه برداری پیکسل بسیار کم 3٪ است. حتی در چنین تراکم نمونه برداری کم، به طور قابل ملاحظه ای برخی از ویژگی های پایه توزیع آب زیرزمینی در داده های MODFLOW بازیابی می شوند، همانطور که در شکل 1 (c) نشان داده شده است.

تراکم نمونه به تدریج از بالا به پایین افزایش می یابد، در شکل 1 (ب)، که منجر به افزایش سریع در صحت داده های بازسازی شده می شود ( شکل 1 (c)). از نظر بصری، داده‌های اصلی MODFLOW تقریباً به طور کامل در تراکم نمونه‌برداری فقط 14 درصد بازیابی می‌شوند، تقریباً مرتبه‌ای کمتر از داده‌های کامل. بنابراین، شکل 1 سودمندی سنجش فشاری را نشان می‌دهد که در آن داده‌های نمونه‌برداری پراکنده می‌توانند برای ترسیم داده‌های دوبعدی به‌رغم الگوهای پیچیده خوراک و توزیع برای آب‌های زیرزمینی استفاده شوند. البته پایش عملی آب های زیرزمینی از هیچ الگوی هندسی خاصی پیروی نمی کند. با این وجود، عملیات سنجش فشاری در نمونه‌برداری غیر هندسی تا زمانی که معیارهای ذکر شده در بالا برآورده شوند، کار می‌کنند.3 ].

ما می‌توانیم سرعتی را که می‌توان داده‌های اصلی را با نرخ‌های نمونه‌گیری مختلف بازیابی کرد، ردیابی کرد و همچنین هندسه‌های نمونه‌گیری داده‌های مختلف (همی، شعاعی و دکارتی) را برای همان داده‌های MODFLOW آزمایش کرد. نتایج در شکل 2 نشان داده شده است ، جایی که “هنجار خطا” به عنوان تابعی از نرخ نمونه برداری رسم شده است. هنجار خطا، مقایسه پیکسل به پیکسل نرمال شده تصویر بازسازی شده با تصویر اصلی است و نرخ نمونه برداری (یا تراکم) نسبت پیکسل های خوانده شده به تعداد کل پیکسل ها است.

ErrorNorm =∑ (منمن ج–منتیR UEمن ج)2—————√ErrorNorm=∑(Iij−IijTRUE)2(2)

من _ijمقدار پیکسل نسبت به داده های واقعی است، منتیR UEمن جIijTRUE. ما به راحتی می‌توانیم ببینیم که هندسه نمونه‌برداری هرمی بسیار بهتر از سایرین است، و با استفاده از این روش نمونه‌گیری هنجار خطای 10 یا کمتر، تنها با نرخ نمونه‌برداری 10 درصد امکان‌پذیر است، به این معنی که 1/10 ^از داده‌ها برای بازیابی تقریباً کامل لازم است. از داده ها بازسازی های تقریبی با نرخ نمونه برداری حتی کمتر امکان پذیر است. بنابراین، توانایی ایجاد یک تصویر کامل برای توزیع آب زیرزمینی با استفاده از سنجش فشاری به طور قابل توجهی افزایش می یابد. این نمایش سنجش فشاری همچنین به “تراکم پذیری” داده های آب زیرزمینی اشاره می کند. همانطور که در شکل 1 نشان داده شده استتوزیع آب زیرزمینی پیوسته است (هیچ تغییر پله یا سنبله ای وجود ندارد) و صرفاً به دلیل فیزیک حمل و نقل آب های زیرزمینی به داده های مجاور مربوط می شود، صرف نظر از تأثیرات شدید رشته کوه ها یا سایر شرایط مخرب. این بدان معناست که داده‌های آب زیرزمینی را می‌توان با استفاده از توابع استاندارد در بسط سری فوریه، با استفاده از تعداد نسبتاً کمی از اصطلاحات تجزیه کرد.

3. نتایج و بحث

برای اندازه‌گیری سطح آب‌های زیرزمینی، از پایگاه داده USGS استفاده می‌کنیم که توسط داده‌های ارائه‌شده توسط مدیریت منابع آب ایالتی در ایالت‌های جنوب غربی (کالیفرنیا، نوادا، آریزونا و یوتا) تکمیل شده است. ما ابتدا بر منابع آب زیرزمینی در جنوب غربی ایالات متحده تمرکز می کنیم، جایی که شرایط خشکسالی تاریخی اخیر ارزیابی و مدیریت دقیق را مهم می کند. سنجش فشاری را می توان به روشی مشابه برای هر منطقه دیگری که حداقل مقدار داده اندازه گیری در دسترس است اعمال کرد. داده های سطح آب زیرزمینی معمولاً با استفاده از یک مبدل فشار یا یک دستگاه شناور در چاه های ثبت شده تولید می شوند. در هر چاه ثبت شده، عمق به چاه (سر آب) اندازه گیری می شود [ 15]. مجموعه داده ها از USGS و دپارتمان های منابع آب مربوطه در آریزونا، کالیفرنیا، نوادا و یوتا (به ترتیب ADWR، CDWR، NDWR و UDWR) به دست می آیند. دو بخش از اطلاعات در هر چاه ثبت شده، عمق به چاه و ارتفاع سایت (ارتفاع)، برای به دست آوردن “سطح آب زیرزمینی” که به سطح دریا اشاره دارد، تبدیل می شوند. برای ارتفاع سایت، از NGVD29 (مقصد عمودی ژئودتیک ملی 1929)، NAVD88 (مقصد عمودی ژئودتیک ملی 1988)، یا NED (مجموعه داده های ارتفاعی ملی) استفاده می کنیم. داده‌ها در طول جغرافیایی 0.25 درجه × طول جغرافیایی 0.25 درجه، برای اهداف پردازش داده‌ها ( یعنی ترتیب داده‌ها در اندازه‌های آرایه قابل مدیریت، و همچنین میانگین نوسانات)، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است، میانگین‌گیری می‌شوند . در شکل 3 قابل مشاهده استکه حتی با این تقسیم‌بندی و میانگین‌گیری، نمونه‌گیری داده‌ها کاملاً پراکنده است و مناطق بزرگی (سفید) وجود دارد که هیچ داده‌ای در دسترس نیست (مثلاً برخی مناطق در شمال شرقی و جنوب غربی آریزونا). بنابراین، توانایی ردیابی آب های زیرزمینی در کل منطقه، از طریق یک اندازه گیری کاوشگر با حداقل نصب، ارزش بالایی دارد.

برای اعتبار سنجی الگوریتم سنجش فشاری، با مجموعه داده ها همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است شروع می کنیم.(الف)، که سطح مطلق آب زیرزمینی را نسبت به سطح دریا برای سال 2006 نشان می دهد، به طور متوسط ​​به سلول های طول جغرافیایی 0.25 درجه × 0.25 درجه طول جغرافیایی. میانگین‌گیری مکانی انجام می‌شود تا اندازه ماتریس را کاهش دهد که به طور تصاعدی زمان محاسباتی را کاهش می‌دهد. سنجش فشاری شامل عملیات آرایه است و اندازه آرایه یکی از عوامل تعیین کننده در بازسازی قابل اعتماد است. مجدداً، سلول های سفید مناطقی را نشان می دهند که هیچ داده ای در دسترس نیست. از این مجموعه داده، ما عمدا داده های 26 سایت (سلول) را برای مقایسه بعدی حذف می کنیم. معیار انتخاب این 26 سایت این است که باید چند مکان داده نزدیک وجود داشته باشد، در غیر این صورت هیچ اعتبارسنجی امکان پذیر نیست. به غیر از آن، انتخاب به گونه ای طراحی شده بود که کم و بیش به طور مساوی توزیع شود. این مکان ها با مثلث های معکوس در شکل 3 مشخص شده اند(الف)، و همچنین در شکل 3 (ب) مشخص شده است. هدف آزمایش این است که آیا حسگر فشرده می‌تواند داده‌ها را در این مکان‌ها بازیابی کند، پس از اینکه با حذف این داده‌ها از تجزیه و تحلیل، خود را کور کرد یا خیر.

شکل 4 نتیجه این آزمایش را نشان می دهد، جایی که ما نه تنها داده ها را در 26 مکان نشان داده شده در شکل 3 (ب) حذف کرده ایم، بلکه نرخ های نمونه گیری متفاوتی را نیز اعمال کرده ایم. دومی به منظور یافتن محدودیت های بحرانی در نرخ نمونه گیری داده ها انجام شد. از بین چندین نرخ نمونه‌گیری که اعمال کرده‌ایم، سه نرخ نمونه‌گیری: 32 (غیر قابل قبول)، 59 (قابل قبول) و 100٪ (کامل) را نشان می‌دهیم. “شاخص شهر” (محور افقی) 26 مکان نشان داده شده در شکل 3 را نشان می دهد.(ب)، در حالی که محور عمودی سطح آب زیرزمینی “مطلق” نسبت به سطح دریا است. با نرخ نمونه‌برداری 32 درصد از داده‌های موجود، نمودار اعتبارسنجی نتیجه ضعیفی را نشان می‌دهد که در آن داده‌های سنجش فشاری عمدتاً تمایل دارند سطح آب زیرزمینی را بیش از حد برآورد کنند. با این حال، بالاتر از 59 درصد نرخ نمونه‌برداری، بازسازی تقریباً دقیق می‌شود. توجه داشته باشید که این نرخ نمونه برداری 59 درصد نسبت به مجموعه داده های موجود است

در شکل 3 (الف) نشان داده شده است، که قبلاً نمونه برداری نشده است. این به این معنی است که حتی اگر فقط 59 درصد از داده های نشان داده شده در شکل 3 (الف)، منهای 26 سلول داده حذف شده را داشته باشیم، باز هم خوانش های دقیقی از سطح آب زیرزمینی بدست می آوریم. بالاتر از این نرخ نمونه‌برداری، داده‌ها تقریباً یکسان می‌مانند و با سطوح دقیق همپوشانی دارند.

بنابراین، شکل 4 نشان می دهد که سنجش فشاری می تواند مجموعه داده های پراکنده را به یک نقشه فضایی کامل تر از سطوح آب زیرزمینی تبدیل کند. همانطور که در شکل 5 نشان داده شده است، می‌توانیم حسگر فشاری را برای انجام این بازسازی در طول زمان، با اعمال آن به صورت سالانه از سال 1992 تا 2012 آزمایش کنیم . در اینجا، ما نیز مقایسه می کنیم

نتایج با روش های سنتی بازیابی داده های از دست رفته، به عنوان مثال چند ضلعی Delaunay، کریجینگ، تابع پایه شعاعی، و روش های وزن دهی معکوس فاصله. در پایش هیدرولوژیکی، پراکندگی در داده‌ها آشکارا یک مشکل دائمی است، و روش‌های متعددی برای رفع این کمبود توسعه داده شده است [ 15 ] [ 16 ]. پس از آزمایش همه روش‌های «درون یابی» بالا، کریجینگ به خوبی یا کمی بهتر عمل کرد (اگرچه هنوز با داده‌های واقعی همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است فاصله دارد) نسبت به بقیه، و بنابراین ما فقط نتایج روش کریجینگ را به صورت مربع‌های باز نشان می‌دهیم. شکل 5 . شکل 5نشان می‌دهد که هم سنجش فشاری «کم نمونه‌برداری‌شده» (32%) و هم کریجینگ به صورت تصادفی از واقعی (الماس‌های پر شده) و همچنین از سنجش فشاری نمونه‌برداری شده (بیش از 59%) منحرف می‌شوند.

داده ها. هنگامی که نرخ نمونه‌برداری بالاتر از 59% باشد، مانند شکل 4 ، داده‌ها دقیقاً با داده‌های واقعی در تمامی 26 مکان و در زمان همپوشانی دارند (تنها 2 سایت در شکل 5 به عنوان نمونه نشان داده شده‌اند). مثلث های باز (> 59٪)، مربع های تیره (100٪)، و واقعی (الماس های پر شده) همه در شکل 5 ادغام شده اند.

روش های چند ضلعی دلونی، کریجینگ، تابع پایه شعاعی و روش های وزن دهی معکوس فاصله به طور سنتی برای جبران کمبود داده استفاده می شود [ 15 ] [ 16 ]. فرض اصلی این است که سر آب را می توان در یک تابع درون یابی خطی یا تابع درون یابی دیگر درون یابی کرد. درون یابی Delaunay (یا گاهی اوقات به عنوان چند ضلعی تیسن نامیده می شود) برای تعریف مناطق بر اساس مجموعه ای از نقاط داده در صفحه است به طوری که مناطق باید توسط یک خط در وسط راه بین نقطه اندازه گیری شده در نظر گرفته شده و نقاط اطراف محصور شوند [ 17 ].]. در زمین‌آمار، کریجینگ یک روش درون‌یابی است که مقادیر درون‌آمیزی شده برای آن توسط فرآیند گاوسی مبتنی بر کوواریانس قبلی مدل‌سازی می‌شوند و به عنوان بهترین روش پیش‌بینی بی‌طرف خطی شناخته می‌شود. تابع پایه شعاعی از یک تابع با ارزش واقعی استفاده می کند که مقدار آن فقط به فاصله از مبدا وابسته است. با استفاده از این تابع، از مجموع توابع پایه شعاعی برای تقریب توابع داده شده استفاده می شود که مقادیر درون یابی را به دست می دهند. وزن دهی معکوس فاصله یک روش درونیابی چند متغیره قطعی است که از مجموعه نقاط پراکنده شناخته شده ای استفاده می کند. همه این روش‌ها روش‌های قطعی هستند، در حالی که سنجش فشاری یک پارادایم کاملاً متفاوت است که به عنوان یک ابزار بازیابی داده‌ها برای سیستم‌های بسیار نامشخص شامل داده‌های نمونه‌برداری پراکنده آب زیرزمینی عمل می‌کند.

اکنون، می‌توانیم بررسی کنیم که آیا سنجش فشاری قادر به ایجاد نقشه‌برداری دو بعدی از سطح آب زیرزمینی است یا خیر. ما از نقشه برداری با وضوح 0.25 درجه در شکل 6 (الف) شروع می کنیم، جایی که سلول های سفید مجدداً نشان دهنده عدم وجود داده است. سنجش فشاری قادر است این سلول های سفید را با مقادیر تقریبی سطح آب زیرزمینی پر کند و یک نقشه کامل همانطور که در شکل 6 (ب) نشان داده شده است، ایجاد کند. ما می توانیم ببینیم که در ایالت کالیفرنیا بسیاری از سلول های گم شده با سلول های آبی جایگزین شده اند (بازیابی) که نشان دهنده سطح پایین آب های زیرزمینی است. به نظر می رسد این یک بازسازی معتبر باشد زیرا سطح آب زیرزمینی معمولاً پایین است

همانطور که با داده های واقعی در شکل 6 (الف) نشان داده شده است. با این حال، ما همچنین می‌توانیم ببینیم که در مناطق دیگر سلول‌های سفید یا خالی با سلول‌های داده‌ای که با سلول‌های مجاور در شکل 6 (ب) سازگار هستند، جایگزین شدند. تعدادی از سلول‌ها به دلیل تداوم داده‌ها و همچنین احتمالاً مشخصه منطقه، به رنگ آبی تبدیل شده‌اند، جایی که انتظار نداریم سطوح پایینی داشته باشند. این ممکن است حد سنجش فشاری باشد در جایی که فراتر از یک نرخ نمونه‌برداری مشخص، زمانی که نرخ نمونه‌برداری کمتر از حد بحرانی است، بازیابی کامل داده‌ها امکان‌پذیر نباشد.

همانطور که در شکل 7 نشان داده شده است، هنگامی که وضوح پیکسل را به 0.1˚ طول جغرافیایی × 0.1˚ نگاشت عرض جغرافیایی با میانگین داده های موجود در مناطق کوچکتر افزایش می دهیم، می توانیم این اثر را ببینیم . بنابراین، ما اساساً با کاهش نسبت داده های موجود (سلول های داده) به تعداد کل سلول ها، نرخ نمونه برداری را کاهش می دهیم. کامل

نقشه برداری به دست آمده از طریق سنجش فشاری سلول های داده بسیاری را نشان می دهد که سطح آب زیرزمینی به طور غیرمنطقی پایینی را نشان می دهند (سلول های آبی). این روش تنها قادر به تولید داده در نزدیکی نقاط یا سلول هایی است که در آنها مقداری داده وجود دارد.

شکل 8 مجموعه ای از نقشه های کانتور به دست آمده از بازسازی حسگر فشاری سطوح آب زیرزمینی در جنوب غربی ایالات متحده را از سال 1954 تا 2012 نشان می دهد. اگرچه برخی از جزئیات ممکن است به طور کامل بازیابی نشده باشند، روندهای کلی در توزیع آب های زیرزمینی را می توان به راحتی در نقشه برداری بازیابی شده با سنجش فشاری مشاهده کرد. ما می‌توانیم مناطق در حال گسترش آب‌های زیرزمینی کم (آبی عمیق در نقشه کانتور) را در جنوب غربی ایالات متحده مشاهده کنیم که به منطقه جنوبی یوتا نفوذ کرده است. همچنین در نقشه داده های سال 2012، نقاط کم آب زیرزمینی در مناطق یوتا و کلرادو مشاهده شده است.

4. نتیجه گیری

ما نشان داده‌ایم که سنجش فشاری می‌تواند یک روش موثر در پایش هیدرولوژیکی باشد، جایی که اندازه‌گیری‌ها اغلب کم جمعیت هستند. پارامترهای مهم، مانند سطح آب زیرزمینی، در سراسر مناطق بزرگ را می توان به یک داده کانتور کامل تر، با نرخ نمونه برداری داده بسیار کمتر از معیار Nyquist نگاشت. اگرچه سنجش فشاری در پردازش تصویر و سیگنال توسعه یافته است، اما آشکارا کاربردهای قابل توجهی در سیستم‌های سیال نیز دارد، مانند هیدرولوژی آب‌های زیرزمینی، زیرا فرآیندهای انتقال از طریق اصول فیزیکی همرفت و انتشار پیوسته هستند. فرآیندهای سیال عمدتاً مستلزم تداوم و نرمی در داده‌ها هستند (که لزوماً در تصویربرداری کلی صدق نمی‌کند)، که تمایل به ارضای شرایط «تراکم‌پذیری» دارند. از این رو،

پیوست: الگوریتم سنجش فشاری

برای نشان دادن کاربرد سنجش فشاری در تجزیه و تحلیل داده‌های آب‌های زیرزمینی، می‌توانیم با یک مجموعه داده ساده متشکل از اندازه N در ۱ ماتریس شروع کنیم و سپس N گره‌ها عناصر داده‌های سطح آب زیرزمینی هستند. هر گره یک نمونه x _i می گیرد که میانگین سطح آب زیرزمینی در محدوده مختصات مشخص شده است. بنابراین، ما یک مجموعه داده داریم: x =[ایکس1، ⋯ ،ایکسn]تیx=[x1,⋯,xn]T. می‌توانیم داده‌ها را با استفاده از یک تابع پایه (مانند تابع سینوسی در سری فوریه) تقریبی کنیم. Ψ=[ψ1، ⋯ ،ψn]تیΨ=[ψ1,⋯,ψn]T. سپس، داده ها را می توان یافت و آن را برآورده می کند x =∑مترi = 1zمنψمنx=∑i=1mziψiهمچنین m ≪ nm≪n. تئوری سنجش فشاری [ 3 ] پیشنهاد می‌کند که با ارضای الزاماتی به نام ویژگی‌های فضای خالی (NSP) و خواص ایزومتریک محدود (RIP)، می‌توانیم نمونه را جمع‌آوری کنیم. y= Φ xy=Φx، جایی که ΦΦاندازه K با N ماتریس سنجش است که عنصر آن است ϕj ، iϕj,iبه طور مستقل و یکسان متغیرهای تصادفی با واریانس 1/ k توزیع شده است. در بیشتر موارد، عنصر آن متغیر تصادفی میانگین صفر است. تحت چنین شرایط “تراکم پذیر”، ما می توانیم x را از y با حل مسئله برنامه ریزی خطی که به عنوان Candes و همکاران فرموله شده است، بازیابی کنیم. [ 3 ]:

دقیقه∥ x ∥1 طوری که y  = Φ Ψzmin‖x‖1 such that y=ΦΨz

برنامه های آنلاین و منبع باز برای بهینه سازی l 1 وجود دارد، مانند Yang et al. [ 18 ] که می تواند این کار را بدون نیاز به انجام تمام برنامه نویسی انجام دهد.

هنگامی که فرد به این نقطه رسید، پس از آن گسترش به مسائل دو یا سه بعدی مستقیم است. به عنوان مثال، ما می توانیم داده های شبکه آب زیرزمینی دو بعدی را بازسازی کنیم f(تیایکس،تیy)f(tx,ty)از نمونه ها اف( x ، y)F(x,y)تبدیل فوریه گسسته آن در دامنه شعاعی Θ. تبدیل فوریه دو بعدی در زیر فرموله شده است.

اف( x ، y) =∑تیایکس= 0ن– 1∑تیy= 0ن– 1f(تیایکس،تیy)ه– 2 πمن (تیایکسایکسن+تیyyن)F(x,y)=∑tx=0N−1∑ty=0N−1f(tx,ty)e−2πi(txxN+tyyN)

جایی که، f(تیایکس،تیy)f(tx,ty)سطح آب زیرزمینی دو بعدی است و اف( x ، y)F(x,y)داده های نمونه گیری را نشان می دهد. برای داده‌های دو بعدی، الگوریتم بهینه‌سازی l1 کند است، و روش‌های دیگری مانند الگوریتم‌های تنوع کلی و تعقیب گرادیان مورد استفاده قرار می‌گیرد، همچنین به عنوان کدهای منبع باز [ 19 ] با توضیحات فراوان و کاربرپسند موجود است. کاربرد مشابهی در ژئوفیزیک را می توان در Ref. [ 20 ].

منابع

[ 1 ]	کلارک، آر و کینگ، جی (2004) اطلس آب: نقشه برداری از بحرانی ترین منبع جهان. انتشارات Earthscan، آموزشی ویبولیتین، لندن.
[ 2 ]	لی، T.-W. و An، K. (2016) بازیابی ویژگی‌های مقیاس زیرشبکه جریان‌های آشفته، از طریق سنجش فشاری. مجله تجسم جریان و پردازش تصویر، 72، 121-127.
[ 3 ]	Candes, EJ, Romberg, J. and Tao, T. (2006) اصول عدم قطعیت قوی: بازسازی دقیق سیگنال از اطلاعات فرکانس بسیار ناقص. IEEE Transactions on Information Theory, 52, 489-509. https://doi.org/10.1109/TIT.2005.862083
[ 4 ]	Elad, M. (2010) بازنمایی های پراکنده و اضافی. اسپرینگر، نیویورک https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7011-4
[ 5 ]	Elad, M., Starck, J.-L., Querre, P. and Donoho, DL (2005) کارتون و تصویر بافت همزمان در نقاشی با استفاده از تجزیه و تحلیل مؤلفه های مورفولوژیکی (MCA). تحلیل هارمونیک کاربردی و محاسباتی، 19، 340-358. https://doi.org/10.1016/j.acha.2005.03.005
[ 6 ]	Eldar، YC و Kutyniok، G. (2012) حس فشرده: نظریه و کاربردها. انتشارات دانشگاه کمبریج، کمبریج.
[ 7 ]	Donoho، DL (2006) سنجش فشرده. IEEE Transactions on Information Theory, 52, 1289-1306. https://doi.org/10.1109/TIT.2006.871582
[ 8 ]	Duarte، MF و Eldar، YC (2011) سنجش فشرده ساختاریافته: از نظریه تا کاربردها. معاملات IEEE در پردازش سیگنال، 59، 4503-4085. https://doi.org/10.1109/TSP.2011.2161982
[ 9 ]	DeVore, RA (2007) ساختارهای قطعی ماتریس های سنجش فشرده. مجله پیچیدگی، 23، 918-925. https://doi.org/10.1016/j.jco.2007.04.002
[ 10 ]	Stojnic، M. (2010) l2/l1-بهینه سازی در سنجش فشرده بلوک-پارس و آستانه های قوی آن. مجله IEEE از موضوعات انتخاب شده در پردازش سیگنال، 4، 350-357. https://doi.org/10.1109/JSTSP.2009.2039172
[ 11 ]	Tahar, D., Laska, JN, Wakin, MB, Duarte, MF, Baron, D., Sarvotham, S., Kelly, KF and Baraniuk, RG (2006) یک معماری دوربین تصویربرداری حسگر فشرده جدید با استفاده از فشرده سازی دامنه نوری. مجموعه مقالات تصویربرداری محاسباتی IV در انجمن مهندسین ابزار دقیق فوتو-اپتیکال تصویربرداری الکترونیکی، 6065، 43-52. https://doi.org/10.1117/12.659602
[ 12 ]	Yin, W., Osher, S., Goldfarb, D. and Darbon, J. (2008) الگوریتم های تکرار شونده برگمن برای l1-به حداقل رساندن با کاربردهایی برای سنجش فشرده. مجله علوم تصویربرداری در جامعه ریاضیات صنعتی و کاربردی، 1، 143-168. https://doi.org/10.1137/070703983
[ 13 ]	Boyd, S. and Vandenberghe, L. (2004) Convex Optimization. انتشارات دانشگاه کمبریج، کمبریج. https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441
[ 14 ]	Guzman، JA، Moriasi، DN، Gowda، PH، و همکاران. (2015) چارچوب یکپارچه سازی مدل برای پیوند SWAT و MODFLOW. مدلسازی و نرم افزار محیطی، 73، 103-116. https://doi.org/10.1016/j.envsoft.2015.08.011
[ 15 ]	لی، جی و هیپ، AD (2011) مروری بر مطالعات مقایسه ای روش های درون یابی فضایی در علوم محیطی: عوامل عملکرد و تاثیر. انفورماتیک بوم شناختی، 6، 228-241. https://doi.org/10.1016/j.ecoinf.2010.12.003
[ 16 ]	Tibshirani, R. (1996) انقباض رگرسیون و انتخاب از طریق کمند. مجله انجمن سلطنتی آماری: سری B (روش شناختی)، 58، 267-288. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1996.tb02080.x
[ 17 ]	Brassel, KE and Reif, D. (2010) رویه ای برای تولید چندضلعی های Thiessen. تحلیل جغرافیایی، 11، 289-303. https://doi.org/10.1111/j.1538-4632.1979.tb00695.x
[ 18 ]	Yang, AY, Ganesh, A., Zhou, Z., Wagner, A., Shia, V., Sastry, S. and Ma, Y. (2010) الگوریتم های کمینه سازی سریع l-1: هموتوپی و روش لاگرانژی تقویت شده – پیاده سازی از MPUهای نقطه ثابت گرفته تا CPU/GPUهای چند هسته ای. https://people.eecs.berkeley.edu/~yang/software/l1benchmark/
[ 19 ]	Zhang, Y. (2016) https://www.caam.rice.edu/~zhang/cv/node7.html
[ 20 ]	Yao, H., Gerstoft, P., Shearer, PM and Mecklenbrauker, C. (2011) سنجش فشاری زمین لرزه توکوکو-اوکی Mw 9.0: حالت های پارگی وابسته به فرکانس. نامه تحقیقات ژئوفیزیک، 38، L20310. https://doi.org/10.1029/2011GL049223