روش های زمين آماری

روش های زمين آماری-موسسه چشم انداز هزاره سوم ملل-آموزش کاربردی GIS و RS

زمين­ آمار شاخه­ اي از علم آمار فضايي است که با استفاده از روش­ هاي آماري سعي در درون يابي و برون يابي داده ­هاي معلوم و تخمين مقدار در نقطه يا نقاط مجهول دارد. روش­هاي زمين ­آماري منطبق بر قوانين آماري مي ­باشند و در اجراي آن­ها بايستي مباني آمار شامل توزيع­ آماري و تصادفي بودن يا نبودن فرآيند ها مورد بررسي قرار گيرد. روش­هاي زمين ­آماري متعددي وجود دارد که عمده آن­ها بر روشي موسوم به کريجينگ مبتني مي­ باشند.

پرسش 1)

با در نظر گرفتن مبدأ مختصات در گوشه جنوب ­غربي درياچه زريوار (مريوان کردستان)، از 5 نقطه، با مختصات ارائه شده در جدول زير، نمونه آب برداشت شده و غلظت منيزيم آب درياچه اندازه ­گيري شده است. با استفاده از روش  (توان برابر با 2) غلظت منيزيم را در مرکز درياچه (نقطه 0) محاسبه نماييد.

جواب:

مطابق با روش IDW  (توان برابر با 2) لازم است مراحل زير به ­ترتيب طي شود:

1) محاسبه فاصله نقطه مجهول (نقطه 0) تا هر کدام از نقاط معلوم

فاصله به صورت خط مستقيم محاسبه شده و بين دو نقطه 0 و  به ­صورت زير به ­دست مي­ آيد:

براي نمونه فاصله نقطه مجهول تا نقطه معلوم (1) برابر است با:

مقادير حاصله در ستون

در جدول زير آورده شده است.

2) محاسبه وزن هر نقطه معلوم در محاسبه نقطه مجهول (λj) اين وزن برابر با توان دوم عکس فاصله نقطه معلوم  تا نقطه مجهول است. براي نمونه λ1 برابر است با:

3) محاسبه مقدار S(j)×λj

در اين مثال (S(j همان مقادير پتاسيم اندازه­ گيري شده در درياچه مي ­باشند.

4) محاسبه

در اين مثال برابر با ^4- e 9/1 مي­باشد.

5) محاسبه

در اين مثال برابر با ^2- e 1/1 مي­ باشد.

6) محاسبه مقدار مجهول S0:

روش کريجينگ

اين روش،که در عمل رايج ­ترين روش درون يابي محسوب مي ­شود، به افتخار دي جي کريگ از دانشمندان علم زمين ­آمار نام گذاري شده است. معادله عمومي کريجينگ به ­صورت زير است:

که

مقدار مجهول در نقطه λi، S0 وزن نقطه معلوم i در محاسبه مقدار مجهول،  مقدار معلوم در نقطه معلوم i و ε پارامتري موسوم به خطاي تصادفي مي­ باشد. معادله عمومي کريجينگ با دو تفاوت، شبيه به معادله IDW مي ­باشد:

الف) فرآيند محاسبه λi متفاوت از روش IDW است و علاوه بر رابطه مکاني بين نقطه مجهول و نقاط معلوم، روابط مکاني حاکم بر نقاط معلوم (خود همبستگي مکاني) نيز در محاسبه آن دخالت دارد.

ب) محاسبه مقدار مجهول با يک خطاي تصادفي همراه مي ­باشد، چرا که روش کريجينگ يک روش جبري (قطعي) نيست و يک روش آماري مي باشد.

مراحل درون يابي به روش کريجينگ

هرچند که درون يابي کريجينگ تقريباً پيچيده مي­باشد و روش ­هاي مختلفي براي اجراي آن ابداع شده است، اما در اين کتاب سعي شده به طور ساده به شرح مراحل اين روش پرداخته شود:

1) آزمون توزيع داده­ ها

چون کريجينگ يک روش زمين­ آماري است و مبتني بر تصادفي بودن متغير مورد بررسي است، لذا روش ­هاي زمين ­آماري همچون کريجينگ معمولاً در شرايطي که داده­ ها از توزيع نرمال تبعيت کنند، با کمترين خطا مقدار يا مقادير مجهول را درون يابي مي­ کنند. براي تعيين نرمال بودن يا نبودن توزيع داده ­ها روش ­هاي مختلفي وجود دارد که از مهم ترين آن­ها عبارتند از:

– ترسيم نمودار توزيع فراواني داده­ ها:

مي ­دانيد در صورتي­ که داده­ ها توزيع نرمال داشته باشند، نمودار توزيع فراواني آن­ها حالت زنگوله ­اي شکل خواهد داشت و شبيه به شکل زير است. در اين حالت 50 درصد داده­ ها پايين ­تر از ميانه و 50 درصد داده ­ها بالاتر از ميانه قرار مي­ گيرند. در صورت انحراف از نرمال بودن توزيع داده­ ها با چوليدگي مواجه خواهد بود. چوليدگي ممکن است مثبت يا منفي باشد (شکل 4-13).

– ترسيم نمودار احتمال نرمال :

برای هر مقدار داده نمودار Q – Q مقدار مشاهده شده (محور X) و مقدار مورد انتظار (حالتی که داده ­های نمونه دارای توزیع نرمال است) (محور y) را نشان می دهد. اگر داده ­ها توزیع نرمال داشته باشند نقاط باید اطراف یک خط صاف جمع شوند در غير اين ­صورت نسبت به خط صاف داراي انحراف هستند (شکل 4-14).

– محاسبه ضريب چوليدگي:

مقدار اين ضريب که براي نمونه ­هاي آماري با رابطه زير محاسبه مي­ شود، در توزيع نرمال برابر با صفر است. ضريب منفي نشان دهنده چوليدگي منفي و ضريب مثبت نشان دهنده چوليدگي مثبت مي­ باشد.

که S ضريب چوليدگي، xi مقدار متغير، Xavg ميانگين مقادير و n تعداد داده ­ها مي­ باشد.

– محاسبه ضريب کشيدگي:

مقدار اين ضريب که براي نمونه­ هاي آماري با رابطه زير محاسبه مي­ شود، در توزيع نرمال برابر با 3 مي­ باشد. اين ضريب براي نمونه­ هاي پخ­تر از نرمال بيشتر از 3، و براي توزيع­ هاي کشيده ­تر کمتر از 3 مي ­باشد (شکل 4-15).

که K ضريب پخي، Xi مقدار متغير، Xavg ميانگين مقادير و n تعداد داده ­ها مي­ باشد.

2) نرمال­ سازی داده ­ها

در صورتي ­که داده­ هاي مربوط به نقاط معلوم فاقد توزيع نرمال باشند، لازم است يا:

الف) داده­ ها را با روش ­هاي موجود نرمال ­سازي کرد. اين فرآيند زماني انجام مي­ شود که تغيير داده­ ها و نرمال کردن آن­ها از نظر پژوهشگر تأثيري بر نتيجه نهايي پژوهش نداشته باشد.

ب) براي درون يابي مقادير معلوم و تخمين مقدار يا مقادير مجهول از روش کريجينگ استفاده نکرد. متأسفانه در تعداد زيادي از مقاله­ ها و نوشتار هاي علمي در کشور بدون در نظر گرفتن پيش­ فرض نرمال بودن داده­ ها، از روش ­هاي مختلف کريجينگ استفاده شده است.

روش­ هاي متعددي براي نرمال کردن داده­ ها وجود دارد که از مهم ترين آن­ها عبارت است از:

– تبديل باکس-کاکس:

اين تبديل بر اساس معادله زير انجام مي­ شود:

که (γ(s مقدار متغير پس از نرمال­ سازي، (Z(s مقدار متغير قبل از نرمال ­سازي مي­ باشد. اگر

باشد، فرض مي ­شود که مقادير معلوم ترکيبي از چند پديده مي­ باشند. براي اين نوع داده­ ها واريانس­ ها به ميانگين وابسته است. براي مثال اگر توزيع متغير يکنواختي مکاني نداشته باشد، در قسمتي از ناحيه مورد مطالعه، که تعداد نمونه ­هاي کمتري برداشت شده، واريانس نمونه­ ها کمتر از قسمتي مي ­شود که نمونه­ هاي بيشتري وجود دارد. بنابراين اين تبديل به افزايش يکنواختي واريانس نمونه ­ها کمک مي­ کند (قهرودي و بابايي، 1393).

– تبديل لگاريتمي:

وقتي λ=0 باشد، تبديل باکس-کاکس کاربردي نداشته و از تبديل لگاريتمي استفاده مي ­شود:

که (γ(s مقدار متغير پس از نرمال سازي و (Z(s مقدار متغير قبل از نرمال سازي می باشد. وقتي 0<(Z(s باشد، ln لگاريتم طبيعي است. تبديل لگاريتمي براي توزيعي به کار می رود که داراي چوليدگي کم و تعداد نمونه ها بزرگ باشد يا نمونه ها در قسمتي متمرکز باشند. در اين صورت اين تبديل می تواند توزيع واريانس را يکنواخت و داده ها را به توزيع نرمال نزديک کند (قهرودي و بابايي، 1393).

– تبديل آرک ­سين:

اين تبديل در شرايطي به کار مي رود که (Z(s بين صفر و يک باشد؛ به عبارتي مقادير معلوم به صورت کسري يا درصد باشند. اين تبديل نيز توزيع واريانس داده ها را يکنواخت مي سازد.

که (λ(S مقدار متغير پس از نرمال ­سازي، (Z(s مقدار متغير قبل از نرمال­ سازي مي­ باشد.

3) تشخيص و حذف روندهاي عمومي در داده ­ها

در صورتي­ که وجود يک عامل فيزيکي در منطقه مورد مطالعه، باعث ايجاد تغييري جهت­ دار (روند عمومي) در مقادير داده ­ها شود، مي­ توان با روابط رياضياتي (براي نمونه روابط رگرسيوني) روند مزبور را شناسايي و حذف کرد. براي نمونه در شکل زير روند کلي تغييرات آلودگي هوا که تحت تأثير باد غالب قرار گرفته نشان داده شده است. تغييرات آلودگي در جهت شرق به غرب کمتر از جهت شمال به جنوب است، زيرا جهت شرقي-غربي موازي باد غالب است، اما جهت شمالي-جنوبی عمود بر جهت باد است. در اين­جا روند کلي تحت تأثير يک عامل فيزيکي است (در اين جا باد غالب) و توسط معادله ­هاي رياضياتي مدل سازي مي­ شود. به عنوان مثال در شکل 4-17، غلظت کلرايد اندازه ­گيري شده در برخي از چاه­ هاي يک منطقه­ در استان فارس (محور Z) در برابر مقادير x و y جغرافيايي پياده­ شده است. مطابق با اين شکل در جهت x يک روند عمومي درجه 3 و در جهت y يک روند عمومي درجه 2 وجود دارد که به واقع شدن يک گنبد نمکي در مرکز منطقه نسبت داده مي­ شود.

4) محاسبه نيم واريوگرام تجربي

همان­طور که گفته شد، کريجينگ مانند بيشتري فنون زمين ­آماري، تحت اين فرض انجام مي ­شود که چيزهايي که نزديک به يکديگر قرار دارند، از چيزهايي که از هم دور هستند، به­ هم شبيه ­تر هستند (خود همبستگي مکاني). نيم ­واريوگرام تجربي نموداري براي کشف اين ارتباط است. در اين نمودار محور x نشان دهنده فاصله زوج نقاط معلوم و محور y نشان­ دهندۀ نيم ­واريانس بين زوج نقاط معلوم مي ­باشد. فاصله بين دو نقطه معلوم s1 و s2 به صورت فاصله خط مستقيم (فاصله اقليدسي) و با رابطه زير محاسبه مي­ شود:

که

فاصله زوج نقطه و X و y مختصات مکاني هر کدام از نقاط مي ­باشد. نيم ­واريانس بين دو نقطه s1 و s2 نيز از رابطه ساده زير به ­دست مي ­آيد:

که Y1,2 نيم ­واريانس بين دو نقطه معلوم S1 و S2 و (Z(s1 و (Z(s2 مقدار متغير در دو نقطه معلوم s1 و s2 مي ­باشد. در شکل 4-18 يک نيم واريوگرام تجربي مربوط به نقاط نمونه­ برداري و اندازه­ گيري غلظت نيتروژن خاک در اراضي کشاورزي در يک منطقه از استان گلستان نشان داده شده است (کاظمي و همکاران، 1390). محورهاي افقي و عمودي اين نمودار به ترتيب نشان دهنده  فاصله و نيم ­واريانس بين زوج نقاط i و j مي باشند. هر نقطه در اين نمودار بيانگر يک زوج نقطه معلوم مي­ باشد. با دقت در اين نمودار مي­ توان متوجه شد که با افزايش فاصله زوج نقاط معلوم از يکديگر، ميزان شباهت آن­ها کاهش مي­ يابد. به عبارت ديگر با افزايش فاصله، مقدار نيم ­واريانس زوج نقاط معلوم، که نشان دهنده تفاوت بين دو نقطه معلوم است، افزايش مي­ يابد. اين موضوع دال بر خودهمبستگي مکاني داده ­هاي جغرافيايي و تبعيت آن­ها از قانون توبلر مي­ باشد.

5) برازش مدل کريجينگ به نيم ­واريوگرام تجربي

آن چه در نيم ­واريوگرام تجربي ديده مي­ شود، ساخته دست طبيعت است و هيچ گونه مدل سازي خاصي در تهيه آن انجام نشده است. براي اين که معادله رياضياتي بين مقادير di,j و γi,j محاسبه شده و با استفاده از اين معادله بتوان مقدار را در نقطه مجهول تخمين زد، مدل­ هاي مختلف کريجينگ ابداع شده است که شرح کامل آن­ها خارج از بحث اين نوشتار مي­ باشد. به طور مثال اگر با عبور يک خط برازش بين نقاط واريوگرام معادله ساده زير حاصل شود:

براي محاسبه (Z(S0 مقدار در نقطه مجهول S0 کافي است فاصله اين نقطه را تا يکي از نقاط معلوم محاسبه کرده و عدد حاصل را در معادله گذاشت و مقدار γi,j (نيم وا­ريانس بين نقطه مجهول و يکي از نقاط معلوم) را به ­دست آورد. سپس با توجه به معادله نيم ­واريانس

و معلوم بودن Y0,j مي توان (Z(S0 را به دست آورد.

با برازش دادن يک مدل به نقاط موجود در نيم­ واريوگرام تجربي، واريوگرام جديدي با عنوان “واريوگرام مدل” به دست مي ­آيد. در صورتي که فقط عامل فاصله باعث ايجاد خود همبستگي مکاني بين مقادير معلوم شود و جهت قرارگيري نقاط معلوم تأثيري در اين خود همبستگي نداشته باشد، نيم­ واريوگرام را “همسان گرد”مي ­نامند. شکل و شمايل کلي نيم ­واريوگرام­ هاي همسان گرد در شکل (4-19) نشان داده شده است. مهم ترين بخش ­هاي اين واريوگرام ­ها عبارتند از:

الف) سقف نيم­ واريوگرام

با افزايش فاصله زوج نقاط معلوم نسبت به يکديگر (که در نيم ­واريوگرام ­هاي مدل با h نشان داده مي­ شود)، مقدار نيم­ واريانس از مقادير کم شروع شده و سپس به يک مقدار ثابت مي ­رسد و بعد از آن با افزايش فاصله، مقدار نيم ­واريانس تغيير نمي­ کند. به اين مقدار نسبتاً ثابت که تغييرات آن تصادفي است، سقف نيم ­واريوگرام گويند. در درون يابي به روش کريجينگ در صورتي که نيم­ واريانس زوج نقاط معلوم بيشتر از سقف نيم ­واريوگرام شود، درون يابي با خطا مواجه خواهد شد (حسني­ پاک، 1377).

ب) جداره نيم ­واريوگرام

قسمت شيب ­دار نيم ­واريوگرام است و نشان­ دهنده وجود خود همبستگي فضايي بين مقادير متغير در نقاط معلوم مي ­باشد.

ج) قطعه نيم ­واريانس

معمولاً نيم ­واريوگرام مدل از مبدأ مختصات شروع نمي­ شود و يک اثر قطعه ­اي بر روي مقادير نيم ­واريانس وجود دارد. اين قطعه نيم ­واريانس نشان مي­ دهد که حتي اگر فاصله دو نقطه معلوم صفر باشد، مقدار آن­ها لزوماً برابر نيست. اين موضوع نشان دهنده تصادفي بودن فرآيند نمونه­ برداري مي­ باشد به عبارتي ديگر در يک عمليات نمونه ­برداري مقدار هيچ دو مقدار معلومي با هم برابر نيست.

د) دامنۀ تأثير

فاصله ­اي است که بعد از آن، مقادير در نقاط معلوم با يکديگر داراي خود همبستگي فضايي نيستند، زيرا توزيع يک متغير جغرافيايي با ساختار فضايي به گونه­ اي است که تشابه آن­ها براي نقاط نزديک به هم نسبت به نقاط دور بيشتر است. بديهي است که دامنه تأثير بزرگتر دلالت بر ساختار فضايي گسترده ­تر دارد (حسني­پاک، 1377).

در نيم ­واريوگرام­ هاي ناهمسان گرد که خودهمبستگي فضايي بين نقاط معلوم در جهت ­هاي مختلف آن؛ متفاوت است، سقف نيم­ واريوگرام در تمامي جهت­ ها با يکديگر برابر است اما مقادير دامنه ­ها متفاوت مي­ باشند (شکل 4-20).

مدل­ هاي کريجينگ متنوعي ابداع شده است که از مهم ترين آن­ها مي ­توان به کريجينگ ساده، کريجينگ معمولي و کريجينگ عمومي اشاره کرد. شرح جزييات مدل­ هاي مزبور خارج از بحث اين کتاب است و خوانندگان مي ­توانند به منابعي چون قهرودي و بابايي (1393) و (کيتانيديس، 1997) مراجعه کنند.

پرسش 2)

در راستاي توسعه يکي از معادن زغال سنگ در کرمان، از يک رگه معدني در نقاطي به مختصات X و y نمونه ­برداري شده و پارامترهايي مانند ارتفاع رگه، ضخامت رگه، درصد خاکستر و درصد گوگرد تعيين شده است:

با استفاده از روش کريجينگ معمولي خطي، ضخامت رگه را در نقطه مجهول  برآورد کنيد.

جواب:

1) محاسبه فواصل بين زوج نقاط معلوم: فاصله بين دو نقطه i و j با استفاده از روش اقليدسي محاسبه مي­ شود.

براي نمونه فاصله بين نقاط  S1 و S2  برابر است با:

2) محاسبه نيم ­واريانس بين زوج نقاط معلوم:

همان­ گونه که در متن اين فصل توضيح داده شد، نيم ­واريانس بين دو نقطه معلوم i و j  از رابطه زير به دست مي­ آيد

براي نمونه نيم­ واريانس بين دو نقطه 1 و 2 Y1,2  برابر است با:

3) ترسيم­ نيم ­واريوگرام تجربي و برازش خط برازش (خطي-معمولي): اين نيم ­واريوگرام در محور X ها شامل فواصل زوج نقاط (d(i,j  و در محور yها شامل مقادير نيم­ واريانس زوج نقاط (γ(i,j مي ­باشد:

4) محاسبه مقدار مجهول در نقطه S0:

– محاسبه فاصله نقطه معلوم S1  تا نقطه مجهول S0:

– محاسبه نيم ­واريوگرام بين S1  و نقطه مجهول S0: اين مقدار با توجه به معادله خط رگرسيون

به ­دست مي­ آيد. بر اين اساس Y0,1 برابر با 0/2637 محاسبه مي ­شود.

– محاسبه مقدار مجهول (Z(s0 با توجه به نقطه 1:

– محاسبه مقدار مجهول (Z(s0  با توجه به ساير نقاط: مشابه مراحل قبل مقدار (Z(s0 بر اساس مقادير معلوم در ساير نقاط. بر اين اساس به ترتيب براي نقاط S2  تا S5، مقادير 2/41، 2/24، 2/76 و 3/02 به ­دست مي ­آيد.

– ميانگين ­گيري از مقادير (Z(s0 و محاسبه (Z(s0 نهايي: