شکل زمین، سطح دریا و ژئوئید

1. تعاریف
2. بررسی اجمالی

1. تعاریف، برگرفته از واژه نامه ژئودتیک، بررسی ملی ژئودتیک ، مگر اینکه طور دیگری ذکر شده باشد.

کانتور:  یک خط فرضی روی زمین که تمام نقاط آن در یک ارتفاع بالا یا زیر سطح مرجع مشخص قرار دارند.

elevation:  فاصله یک نقطه از یک سطح مشخص با پتانسیل ثابت . فاصله در جهت گرانش بین نقطه و سطح اندازه گیری می شود.

elevation، orthometric:  فاصله بین ژئوئید و یک نقطه که در امتداد خط شاقول اندازه گیری می شود و از ژئوئید به سمت بالا مثبت می شود.

ژئوئید:  سطح هم پتانسیل میدان گرانشی زمین که با میانگین سطح دریای اقیانوس ها منطبق است (گاوس، 1828). 

ارتفاع، ژئودتیک:  فاصله عمود از یک بیضی مرجع به یک نقطه.

2. بررسی اجمالی

از آنجایی که هواپیما در حال نزدیک شدن به زمین است، خدمه باید اطمینان حاصل کنند که پایین هواپیما بالاتر از بالای تمام موانع زیر آن در طول مسیر پرواز قرار دارد. هنگامی که مهندسان عمران یک فاضلاب طوفان را طراحی می کنند، باید اطمینان حاصل کنند که نقطه ورودی رواناب بالاتر از نقطه خروجی است. ممکن است به نظر برسد که این دو سناریو به یک معنا هستند – اینکه چیزی باید بالاتر از دیگری باشد –اما آنها نمی کنند. هواپیما باید یک جدایی عمودی خطی بین خود و موانع حفظ کند. آب باید به سمت پایین سرازیر شود. جدایی عمودی مربوط به هندسه است و جریان در سرازیری مربوط به جاذبه است. با کمال تعجب، مکان هایی وجود دارند که جدایی عمودی خطی آنها صفر است و با این حال تنها به دلیل نیروی گرانش، آب بین آنها جریان خواهد داشت. این تمایز باعث شده است که انواع مختلفی از ارتفاعات وجود داشته باشد که همه آنها به طور کلی به معنای جابجایی در جهت عمودی به نوعی نسبت به سطح مرجع نوعی است.

خلبانان به ارتفاعات دقیق نیاز دارند، به معنای ارتفاع (در حال حاضر) ارتفاع بالاتر از سطح دریا . ارتفاع سنج ها در هواپیما ارتفاعاتی را برای مقایسه با ارتفاعات موانع مشخص شده در نمودار هوانوردی نزدیک فراهم می کنند. مهندسان عمران به تفاوت های دقیق در ارتفاع نیاز دارند، با اختلاف ارتفاع به این معنی که اندازه گیری ها منعکس کننده جهت جریان آب، جهت سراشیبی هستند. ارتفاعات در امتداد فاضلاب غیر ضروری هستند: طراحی باید تغییر ارتفاع مورد نیاز را در طول فاضلاب نشان دهد، نه ارتفاع ایستگاه های طراحی از سطح دریا. نقشه برداران زمین از سطوح دیفرانسیل و ایستگاه های کل برای تعیین تغییر ارتفاع در طول فاضلاب استفاده می کنند، نه ارتفاع سنج.

فرض کنید کسی می‌گوید: «ارتفاع بالای این میز پنجاه متر است». ممکن است کسی با این سوال پاسخ دهد که “پنجاه متر بالاتر از چه چیزی؟” ارتفاعات نسبت به یک سطح مرجع، به یک مبدأ عمودی داده می‌شوند و ارتفاع روی سطح مبدأ طبق تعریف یکسان صفر است. در اینجا تعریف ارتفاع بر اساس سازمان ملی اقیانوسی و جوی ایالات متحده (NOAA) بررسی ملی ژئودتیک (NGS) آمده است :

elevation:  فاصله یک نقطه از یک سطح مشخص با پتانسیل ثابت . فاصله در جهت گرانش بین نقطه و سطح اندازه گیری می شود.

این تعریف نسبتاً فنی به سطح دریا اشاره ای نمی کند، در عوض، مبدأ ارتفاعات، سطحی با پتانسیل ثابت است که مخفف انرژی پتانسیل گرانشی است. سطحی با پتانسیل ثابت بودن به این معنی است که انرژی پتانسیل در همه جای این سطح یکسان است، این یک سطح هم پتانسیل است. آب به دلیل گرانش در سطح هم پتانسیل جریان ندارد. نیروی گرانش به دلیل تغییر پتانسیل ایجاد می شود، بنابراین، از آنجایی که انرژی پتانسیل در همه جای یک سطح هم پتانسیل یکسان است، تغییر پتانسیل صفر است و بنابراین، نیرویی برای حرکت آب وجود ندارد. سطوح هم پتانسیل تراز هستند : همه جای یک سطح هم پتانسیل با توجه به مفاهیم سربالایی و سرازیری در یک ارتفاع قرار دارند.

تعریف ارتفاع به تعریف ارتفاع ارتومتریک (معروف به ارتفاع ارتومتری) اختصاص دارد:

elevation، orthometric:  فاصله بین ژئوئید و یک نقطه که در امتداد خط شاقول اندازه گیری می شود و از ژئوئید به سمت بالا مثبت می شود. با وجود ظواهر برعکس، این تعریف با تعریف ارتفاع تنها از این جهت متفاوت است که مبدأ را مشخص می کند: جهت گرانش بین نقطه و سطح به معنای همان “در امتداد خط شاقول” است. (خطوط شاقول در ادامه بیشتر مورد بحث قرار خواهند گرفت.) مبدأ چیزی است به نام ژئوئید.میدان انرژی پتانسیل زمین تمام فضا را فرا می گیرد. هر مکانی در کیهان به دلیل نزدیکی به مرکز جرم زمین، مقداری انرژی بالقوه دارد. در غیاب تمام اجسام پرجرم دیگر، این میدان انرژی پتانسیل از سطوح متحدالمرکز با پتانسیل ثابت مانند لایه‌های پیاز تشکیل شده است. همه آنها سطوح تراز هستند، بنابراین کدام یک بهترین انتخاب (به نوعی) برای داده ارتفاعات است؟ این ما را به تعریف ژئوئید هدایت می کند :

ژئوئید:  سطح هم پتانسیل میدان گرانشی زمین که با میانگین سطح دریای اقیانوس ها منطبق است (گاوس، 1828).

این مفهوم ابتدا توسط کارل فردریش گاوس (Gauss, 1828) ارائه شد و بعداً توسط Listing (1872) نامگذاری شد (Torge & Müller, 2012). این تعریف ممکن است با توضیح زبان رایج آن بهتر درک شود. فرض کنید، به نحوی، اقیانوس‌های زمین آشفته نشده بودند، به طوری که هیچ موج، جزر و مد و جریانی نداشتند. که آنها کاملاً آرام بودند. سطح اقیانوس های دست نخورده با ژئوئید منطبق خواهد بود. ژئوئید بخشی از میدان گرانش زمین است، بنابراین کل زمین را در بر می گیرد، نه فقط قسمت های پوشیده از آب دریا، بنابراین توضیح را باید با اجازه دادن به اقیانوس ها برای جریان آزادانه در تمام توده های خشکی گسترش داد.

هر سطح هم پتانسیل با یک مقدار واحد انرژی پتانسیل همراه است. جامعه ژئودزی مقدار بالقوه ژئوئید را به عنوان W ₀  نشان می دهد، بنابراین ژئوئید با تعیین یک مقدار خاص برای W ₀ انتخاب می شود. به عنوان مثال، (Amin, et al., 2019) بر اساس مشاهدات گرانشی به دست آمده از ماهواره  ها، ژئوئید را W ₀ =  62636848.102±0.004 m2 s ^{– 2 تعریف کرد.} 

هر مقدار «معقول» برای W ₀  انجام خواهد شد (اسمیت، 1998) و در واقع، این مقدار ممکن است برای مطابقت با سطح دریا انتخاب نشود تا زمانی که «نزدیک» به آن باشد. به عنوان مثال، سطح مبنا نقطه مبنا عمودی آمریکای شمالی در سال 1988 (NAVD88) به عنوان سطح تراز در یک نشانگر بررسی واحد، Father Point/Rimouski، در کبک کانادا، واقع در دهانه رودخانه سنت لارنس، انتخاب شد. نشانگری که در ناحیه جزر و مدی نیست (زیلکوفسکی و همکاران، 1992). (بورسا، 1999) مقدار W 0 = 62,636,861.4±0.5 m ² s ^-2  را برای سطح تراز NAVD88 تعیین کرد. انحراف سطح تراز NAVD88 به ژئوئید ناشناخته است، اما تصور می شود “کوچک” باشد. (رومن و لی، 2011) W 0 = را تعیین کردند62,636,856.88 m ² s ^-2 برای مدل‌های کنونی ایالات متحده و کانادا، «…تقریباً بهینه است، هرچند ممکن است برخی تغییرات کوچک بسته به اصلاح نتایج در امتداد ساحل شرقی ایالات متحده، جایی که اثرات جریان خلیج‌فارس این تحلیل را پیچیده می‌کند، مورد نیاز باشد.» مهمتر از آن، افست تا حدودی بی ربط است. اول، تفاوت ارتفاع اغلب مهمتر از خود ارتفاع است: دانستن جهت جریان مایعات تقریباً برای تمام پروژه های مهندسی عمران مهم است، در حالی که دانستن ارتفاع آن پروژه ها اغلب تا حد زیادی بی ربط است. مکان سطح مبنا در اختلاف ارتفاع ناپدید می شود، بنابراین مکان سطح مبنا برای ارتفاعات نسبی بی اهمیت است. دوم، خود ژئوئید به دلیل تغییر دمای اقیانوس ها، تغییر مقدار آب در اقیانوس ها دائماً در حال تغییر است. تغییر شوری در آب، تغییر جریان ها و غیره. هیچ سطح منفرد، دائمی و هم پتانسیلی وجود ندارد که “ژئوئید” باشد (اسمیت، 1998)، بنابراین تلاش برای ثبت دقیق آن، حتی در یک لحظه، تا حدودی بیهوده است. زمان. سوم، کشورها ممکن است سطوح سطوح مختلف را به عنوان داده عمودی ملی خود انتخاب کنند تا مطابق با نیازهای خود باشند.

از آنجایی که سطوح تراز از همه مکان‌ها در یک مقدار ژئوپتانسیل تشکیل شده‌اند و بنابراین از نظر نحوه جریان مایعات در یک ارتفاع قرار دارند، بنابراین تغییر ارتفاع به معنای تغییر در مقدار ژئوپتانسیل است. این یک تغییر در انرژی است ، نه تغییر در فاصله، فی نفسه. انرژی پتانسیل یک تغییر خطی در جداسازی بین سطوح هم پتانسیل دارد، با این حال، سطوح هم پتانسیل موازی نیستند، این اتفاق می افتد. شکل 1 نمایش یک هنرمند از چند سطح هم پتانسیل است. توجه داشته باشید که سطوح دورتر از زمین انحنای کمتری دارند. همچنین توجه داشته باشید که از آنجایی که هر سطح دارای انحنای متفاوتی است، سطوح موازی نیستند. بنابراین جدایی خطی بین دو سطح هم پتانسیل می‌تواند از مکانی به مکان دیگر تغییر کند و تغییر می‌کند (شکل 2). این قطع منطقی دلیل اصلی این است که چرا جدایی هندسی با تغییر انرژی پتانسیل بین دو سطح هم پتانسیل یکسان نیست. هوانوردان به اولی نیاز دارند و طراحان فاضلاب به دومی نیاز دارند.

شکل 1. اجرای یک هنرمند از چندین سطح هم پتانسیل دارای انحناهای متفاوتی است و بنابراین موازی نیستند. منبع: نویسنده; برگرفته از مایر (2010).

اکنون می توانیم یک کانتور را تعریف کنیم: 

کانتور:  یک خط فرضی روی زمین که تمام نقاط آن در یک ارتفاع بالا یا زیر سطح مرجع مشخص قرار دارند.

به تصویر یک کانتور روی نقشه (توپوگرافیک)، خط کانتور می گویند. طبق تعریف، همه مکان های روی زمین در یک کانتور در یک ارتفاع قرار دارند. سپس می توان نتیجه گرفت که یک کانتور تقاطع یک سطح تراز (سطح هم پتانسیل) با زمین است، اما این به طور کلی درست نیست. شکل 2 دو سطح هم پتانسیل را نشان می دهد: سطح بالاتر زمین را در امتداد مسیر قبل از میلاد قطع می کند و سطح پایین تر زمین را از AD قطع می کند. فرض کنید سطح هم پتانسیل پایین ژئوئید باشد. مسیر BC روی یک سطح هم پتانسیل است، به طوری که مسیر همسطح است. همینطور برای مسیر AD با این حال، سطوح هم پتانسیل موازی نیستند، بنابراین ارتفاع ارتومتریک در B متفاوت است، در واقع این ارتفاع کمتر از ارتفاع ارتومتریک در C است.

با این حال، این تا حد زیادی، اما نه به طور کامل، آکادمیک است. سطوح هم پتانسیل در طول مسافت به آرامی از هم جدا می شوند، بنابراین خطوط تقریباً همسطح هستند، اما معمولاً دقیقاً همسطح نیستند. این می تواند در مکان هایی با تسکین توپوگرافی بسیار کم، که در معرض سیل قرار دارند، تبدیل به یک مسئله شود. در چنین مکان‌هایی حتی تغییرات جزئی در توپوگرافی می‌تواند یک مرز ثابت، مانند خط سیل 100 ساله را با فاصله افقی زیادی جابه‌جا کند. مفهوم ژئوپتانسیل ارتفاع که ارتفاع پویا نامیده می شود را می توان به کار برد. به عنوان مثال، کانادا از ارتفاعات دینامیکی برای داده بین المللی دریاچه های بزرگ 1985 استفاده می کند. در شکل 2، ارتفاع دینامیکی در امتداد هر مسیر ثابت است.

شکل 2. نمای نزدیک که عدم موازی بودن دو سطح هم پتانسیل را برجسته می کند. منبع: نویسنده; برگرفته از مایر (2010).

امروزه بسیاری از هواپیماها برای تعیین موقعیت و سرعت خود از فناوری های موقعیت یابی سیستم ماهواره ای ناوبری جهانی (GNSS) استفاده می کنند. موقعیت‌های GNSS ذاتاً سه‌بعدی هستند، اما به یک سیستم مختصات دکارتی ( XYZ ) اشاره می‌کنند که محور Z موازی و نزدیک به محور چرخشی زمین است. محور زمین دائماً در یک مسیر تقریباً دایره‌ای در حال حرکت است. این حرکت، حرکت تقدیمی نامیده می شود و شامل حرکات با مقیاس ظریف مانند چندلر تاب است. این حرکت قطب واقعی زمین را از استفاده برای محور Z منع می کند ، بنابراین Z-محور نزدیک به محور واقعی انتخاب می شود اما طوری ایجاد می شود که (تا حد امکان) حرکت نکند. هیچ مفهومی از “بالا” ذاتی در این سیستم مختصات وجود ندارد. ایده ارتفاع ارتباط نزدیکی با جهت بالا و پایین دارد. پایین جهتی است که چیزی به تنهایی تحت تأثیر گرانش قرار می گیرد و به سمت بالا جهت مخالف پایین است. یک گیرنده GNSS مختصاتی را تولید نمی کند (مستقیم) که ارتفاع را فراهم می کند. با این حال، فرمول های شناخته شده ای برای تبدیل از مختصات XYZ به طول جغرافیایی، عرض جغرافیایی و ارتفاع وجود دارد (Claessens، 2019)، بنابراین ارتفاع ژئودتیکی به راحتی از گیرنده های GNSS در دسترس است. ارتفاعات ژئودتیکی کاملاً هندسی هستند و چیزی ندارندبا انرژی پتانسیل گرانشی کار می کنند و از سطح هم پتانسیل برای مبدأ خود استفاده نمی کنند. مبدأ آنها یک مدل ریاضی ساده از شکل ماکروسکوپی زمین (ژئوئید) است که بیضی مرجع نامیده می شود .

شکل 3. تجزیه یک بردار نیروی گریز از مرکز به اجزایی که به سمت بالا و به سمت استوا هدایت می شوند. منبع: نویسنده 

بیضی‌های مرجع بیضی‌های انقلاب هستند که به نام کروی یا فقط «بیضی» نیز شناخته می‌شوند. از زمان اسحاق نیوتن به طور قطعی شناخته شده است که شکل ماکروسکوپی زمین مانند یک کروی مایل است. نیوتن این را تعیین کرد – صفحه در مقابل پرولات –با استفاده از استدلال در مورد گرانش: چرخش روزانه زمین نیروی گریز از مرکز عمود بر محور چرخشی آن ایجاد می کند. این نیرو فقط در استوا بر سطح زمین عمود است و در هر جای دیگر این نیرو دارای مولفه ای است که به سمت استوا هدایت می شود (شکل 3). اگر زمین کروی بود، این جزء باعث می شد که اقیانوس ها در اطراف استوا انباشته شوند و مناطق قطبی خالی از اقیانوس شوند. ظاهراً این اتفاق نمی‌افتد، بنابراین شکل ماکروسکوپی زمین باید کمی به سمت صفحه متمایل شود تا این جزء استوایی نیروی گریز از مرکز عمل کند (Stommel & Moore, 1989). این مسطح شدن بیضی را می توان با استفاده از فرمول های انتگرال استوک و فرمول های مرتبط به دست آورد (Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2006؛ Amin, et al., 2019). قاب های مرجع ژئودتیک مدرن، ژئومرکزی هستند، به این معنی که منشاء تعریف آنهاستسیستم مختصات XYZ در مرکز جرم زمین، از جمله اقیانوس ها و جو قرار دارد (شکل 4). بنابراین، بیضی‌های مرجع مدرن توسط قاب‌های مرجع به‌گونه‌ای قرار می‌گیرند که مبدأ آنها نیز ژئومرکزی باشد و بنابراین، به عنوان یک مبنا عمودی هندسی مناسب هستند. ارتفاعات ژئودتیکی را به صورت تعریف می کنیم

ارتفاع، ژئودتیک – فاصله عمود از یک بیضی مرجع به یک نقطه.