خود همبستگی فضایی در مباحث مکانی

خود همبستگی فضایی در مباحث مکانی-موسسه چشم انداز-آموزش کاربردی GIS و RS

خود همبستگی فضایی به رابطه بین مقادیر باقیمانده در طول خط رگرسیون مربوط می­ شود. خود همبستگی قوی زمانی رخ می­دهد که مقادیر باقیمانده در طول خط رگرسیون مربوط می ­شود. خود همبستگی قوی زمانی رخ می­ دهد که مقادیر باقیمانده شدیداً با هم در ارتباط باشند. به عبارت دیگر تغییرات شان به صورتی سیستماتیک رخ دهند. خود همبستگی فضایی مفهومی نسبتا ساده است و در حقیقت بسط همین مفهوم در امار کلاسیک است. خود همبستگی قوی زمانی رخ می ­دهد که مقادیر یک متغیر که از نظر جغرافیایی به هم نزدیک هستند با هم مرتبط باشند. اگر عوارض و یا مادیر متغیرهای مربوط به ان­ها به طور تصادفی در فضا توزیع شده باشند ظاهراً نباید بین آن­ها ارتباطی وجود داشته باشد (عسگری، 1390).

رگرسیون موزون جغرافیایی در مباحث مکانی

هنگامی که مشاهدات نمونه از مکان­ های مختلف جمع ­آوری شده باشند پژوهشگر با یک فضای ناهمگن سر و کار دارد. با وجود ناهمگنی فضایی، رگرسیون کلاسیک پارامترهای مورد نظر را در سطح منطقه مورد مطالعه تخمین زده و یک معادله ارائه می­ کند (گتیس و همکاران، 2002). عقیده بر این بود که در صورت وجود ناهمگنی فضایی با در دست داشتن یک رابطه عمومی نمی ­توان تمامی مشاهدات را به درستی توصیف کند و این احتمال وجود دارد که هر پهنه از پارامترهای متفاوتی برخوردار باشد. کاستی (1972) روشی موسوم به روش توسعه فضایی را برای مدل رگرسیونی واجد ناهمگنی فضایی ارائه کرده است.

خود همبستگی فضایی در مباحث مکانی

برای نمونه معمولاً در متغیرهای اقلیمی، مانند بارش، دما، رطوبت و … توزیع ناهمگنی مشاهده می­ شود. یکی از راه ­های شناسایی ناهمگنی اختلاف زیاد بین مد، میانگین و میانه است. ضریب تغییرات و چولگی راه دیگر برای نشان دادن این واقعیت است. شکل 7-6 ناهمگني فضايي بارش و دماي ساليانه در ايستگاه­ هاي هواشناسي ايران را نشان می ­دهد.

برای درک بهتر این روش، مدل رگرسیونی خطی با دو متغیر مستقل در نظر گرفته می­ شود:

این معادله شامل سه پارامتر a و b و c است که تابعی از مکان وقوع مشاهده است. این پارامترها با تغییر در مشاهده، تغییر می ­یابند. برای نمونه اگر موقعیت جغرافیایی یک ساختمان با دو متغیر (ui,vi) نشان داده شود و برای سادگی، رابطه پارامترها و موقعیت ساختمان به صورت خطی در نظر گرفته شود، می­ توان روابط زیر را نوشت:

با جایگذاری این روابط در مدل اصلی مدل زیر به دست می­آید:

که به سادگی از روش حداقل مربعات قابل برآورد است. نقطه ضعف این روش مشکل بودن تعیین نوع رابطه پارامترها با مختصات مکانی مشاهدات است که مبنای علمی روشنی برای آن وجود ندارد. لذا معمولاً در موارد ناهمگن از روش رگرسیون موزون جغرافیایی (GWR) استفاده می ­شود.

بنابراین یکی از روش ­های دستیابی به دقت بالاتر در تحلیل روابط فضایی، روش رگرسیون موزون جغرافیایی می ­باشد. این روش نخستین بار در دهه اخیر توسط فوترینگام، چالتون و برانسدون، اساتید دانشگاه بریتانیا معرفی و در سال 1991 برای بررسی عوامل تأثیرگذار در قیمت منازل مسکونی لندن مورد استفاده قرار گرفت. این روش کاربردهای متنوعی در شناسایی و تحلیل متغیرهای محلی داشته و در مدل­سازی­ های مکانی برنامه ­ریزی شهری و منطقه­ ای، محیط­ شناسی، ژئوماتیک، جغرافیا و … استفاده شده است. رگرسیون موزون جغرافیایی معمولاً برای مدل­ سازی فرآیندهای ناهمگن مکانی به کار می­ رود (فوترینگام و همکاران، 2002). همان طور که گفته شد ناهمگنی مکانی بیانگر این است که در هر نقطه (مختصات جغرافیایی) به دلیل وابستگی پارامترها یا ضرایب مدل نسبت به مکان رابطه ­ای متفاوت بین متغیر وابسته و مستقل وجود دارد. روش رگرسیون موزون جغرافیایی بر این ایده استوار است که پارامترها یا ضرایب مدل را می­ توان در هر نقطه از فضا یا مکان مورد مطالعه برآورد کرد. فرض کنید تعدادی نقطه که دارای مختصات (u,v) هستند، در محدوده مورد مطالعه وجود دارند. در این صورت

این مدل را می­ توان با حداقل مربعات برازش کرد تا از آن طریق ضرایب مکان (u,v) را تخمین زد. وزن­ دهی به گونه ­ای تنظیم شده است که داده های نزدیکتر به (u,v) وزن بیشتری نسبت به داده­ های دورتر دریافت می­ نمایند. معمولاً (u,v) مکانی است که داده در آنجا جمع ­آوری شده است. این کار امکان می­ دهد که ضرایب رگرسیون برای کلیه نقاط به طور جداگانه محاسبه شوند. بنابراین مدل کلی رگرسیون موزون جغرافیایی به صورت زیر تعریف می­ شود.

در این رابطه (ui,vi) مختصات iاُمین نقطه در فضا و (bk (ui,vi همان ضرایب متغیر مستقل در مکان iاُم است.

رگرسیون وزنی جغرافیایی نوعی مدل خطی است و دارای همان پیش­ نیازهای رگرسیون حداقل مربعات معمولی است.

تعیین محدوده در رگرسیون موزون جغرافیایی

با در نظر گرفتن ناهمگنی فضایی در هر پهنه رابطه ­ای متفاوت بین متغیر وابسته و متغیر مستقل وجود دارد. بنابراین لازم است  برای هر پهنه معادلات رگرسیون جداگانه ­ای محاسبه شود. شاید اولین سوالی که به ذهن می ­رسد این باشد که محدوده هر پهنه را چگونه باید شناسایی کرد؟ تعیین مرز دقیق، شکل و اندازه هر پهنه بنا به ورودی­ های کاربر متفاوت است و برای این کار می­ توان از روش­ های متفاوتی مانند: کرنل، طول باند، فاصله و تعداد عوارض استفاده کرد (عسگری،1390).

تخمین تراکم کرنل

تابع تراکم کرنل نوعي تابع تحلیل فضایی برای سنجش تراکم عوارض جغرافیایی در یک منطقه می باشد. هدف تخمین تراکم کرنل، تخمین شدت یک فرآیند نقطه ­ای در مکان­ های مورد نظر است. در واقع این تابع تراکم یک عارضه جغرافیایی را در یک منطقه به تصویر مي­ کشد. تابع کرنل در بسیاری از برنامه ­ریزی­ ها کاربرد دارد و می ­تواند یک پهنه و یک سطح همواری را با توجه به مساحت و نوع متغیر در سطح منطقه به تصویر بکشاند (دونگ، 2007)

معمولاً تخمین تراکم کرنل در یک مجموعه نقطه شبکه انجام می­ شود که منطقه مطالعاتی را پوشش می­ دهد. بر اساس تخمین تراکم انجام شده در این نقاط، سطح تراکم ایجاد می­ گردد. بنابراین برای تعیین محدوده هر منطقه به روش تابع تراکم کرنل چند مرحله باید انجام داد:

مرحله اول- شبکه­بندی با سلول­های کوچک بر روی سطح مورد نظر

شبکه­ بندی را می ­توان این گونه تصور کرد که یک پارچه توری بر روی سطح مورد نظر انداخته مي­ شود. مکان ­ها در داخل شبکه­ های توری یا بر روی مرزهای آن قرار خواهند گرفت (شکل 7-7).

مرحله دوم- انتخاب شعاع جستجو

به این صورت که یک دايره با شعاع معین بر روی هر سلول در نظر گرفته و وزن هر نقطه درون شعاع کرنل محاسبه می ­شود. به عبارت دیگر هر مکان نقطه مشاهده شده i، وزنی را می ­گیرد که تابعی از فاصله نقطه شبکه i تا مکان نقطه j می ­باشد. از طرفی هر چه نقاط به مرکز نزدیکتر باشند وزن بیشتری می­ گیرند و در نتیجه مقدار تراکم سلول افزوده مي ­يابد.

مرحله سوم: به دست آوردن مقادیر نهایی سلول شبکه

مقادیر نهایی سلول شبکه با جمع کردن تمام مقادیر موجود در سطوح دایره­ ای برای هر مکان به دست می­ آید (شکل 7-8). بنابراین تخمین­گر شدت برابر است با (چیو، 1991)):

انتخاب­ های بسیاری برای تابع کرنل موجود است، یک مورد رایج عبارتست ازکرنل کوارتیک:

که در آن τ عبارت از “پهنای باند” کرنل است. بنابراین کلیه نقاط داخل فاصله τ شبکه یک وزن غیرصفر را در تخمین­ گر شدت می­ گیرند (گوییدوم، 2015). تخمین گر λ ̂i نیز برای تأثیرات لب ه­ای تنطیم گشته و این کار از طریق تقسیم کردن آن بر نسبت حجم کرنل که در داخل منطقه مطالعاتی r واقع است صورت می­ گیرد (شکل 7-9).

تابع تراکم کرنل در بسياري از مطالعات کاربرد دارد. براي نمونه تراکم چاه ­هاي کشاورزي و جمعيت شهرستان داراب که به روش کرنل تهيه شده در شکل 7-10 نشان داده شده است.

پرسش 2)

بزرگ و کوچک بودن پهنای باند در تابع تراکم کرنل چه تاثیری بر نتایج تحقیقاتی خواهد گذاشت؟

جواب:

پهنای باند کوچک تنها از اطلاعات محلی در مجاورت یک نقطه شبکه استفاده می­ کند، تخمین حاصل دارای سوگیری اندکی است، اما دارای درجه بالایی از عدم قطعیت است، زیرا بر اساس اطلاعات کمی می باشد. از سوی دیگر، پهنای باند بزرگ منجر به تخمین شدتی می­ شود که دارای عدم قطعیت کمتری است، اما دارای درجه سوگیری بالاتری می­ باشد، زیرا اطلاعات غیرمحلی بیشتری استفاده می­ شود.

نحوه تعیین باند بهینه در روش تراکم کرنل

برای تعیین پهنای باند “بهینه”، پیشنهادات متعددی توسط دانشمندان مطرح شده که به طور مختصر به برخی از آن­ها اشاره می ­شود.

بیلی و گاترل (1995) پهنای باند بهینه را به صورت معادله مطرح کردند که برای منطقه مطالعاتی مربع واحد در نظر گرفته مي ­شود:

والر و گتوی (2004) برای یک کرنل گوسی، پهنای باندی را تعريف مي کنند که توسط انحراف معیار تابع گوسی معادل مشخص می شود، که در آن σ ̂ عبارت از انحراف معیار مختصات x یا y است.

کرنل ­های انطباقی راه دیگر برای تعیین پهنای باند بهینه هستند. بدین معنی که پهنای باند استفاده شده در یک مطالعه وابسته به تراکم نقاط است. بنابراین پهنای باند از یک مکان به مکان دیگر تغییر می­ کند و پهناي باند  وسیع­ تر در مواقعی به کار می­ رود که نواحی با تراکم کمتر مشاهده می­شوند، و پهنای باند کوچک­تر در نواحی با تراکم نقطه­ ای بالاتر ايجاد مي­ شود (هایدن­ریچ و همکاران، 2013).

روش تابع تراکم کرنل در رگرسیون موزون جغرافیایی

تابع تراکم کرنل در رگرسیون موزون جغرافیایی به دو شکل هسته فضایی ثابت و هسته فضایی تطبیقی به کار می ­رود. عملکرد تابع هسته­ های فضایی ثابت در شکل زیر نشان داده شده است:

نقاطی که در شکل بالا با علامت x مشخص شده ­اند نشان­ دهنده­ نقطه مرجع می ­باشند. مشاهدات واقع در این شکل براساس فاصله­ تا نقطه مرجع وزن­ دهی می­ شوند بنابراين مشاهدات نزدیک­تر به نقطه مرجع وزن بیشتری را به خود اختصاص می­ دهند و شیوه وزن ­دهی به مشاهدات در طول یک دامنه از شکلی شبیه به یک زنگوله تبعیت می­ کند چگونگی محاسبه وزن در روش هسته ثابت به صورت زیر است (دانگ و همکاران، 2005)

که در آن (di(ui,vi معیاری از فاصله بین مشاهده i و مکان نقطه مرجع (ui,vi) است و h نیز پهنای باند است.

برای درک بهتر هسته فضایی تطبیقی به تصویر زیر نگاه کنید.

در رگرسیون موزون جغرافیایی با هسته فضایی تطبیقی، پهنای باند متناسب با پراکندگی عوارض حول نقطه مرجع تعیین می­ شود. زمانی که مشاهدات پراکنده هستند و لازم است پهنای باند بیشتری در نظر گرفته ­شود و زمانی که مشاهدات حول نقطه مرجع متراکم هستند پهنای باند کمتری انتخاب می­ شود. نحوه محاسبه وزن اختصاص داده شده در روش هسته تطبیقی به صورت زیر است:

که در آن (di(ui,vi معیاری از فاصله بین عارضه i و مکان نقطه مرجع (ui,vi) است و h نیز پهنای باند است.

پرسش 3)

الف) آیا تعیین محدوده با در نظر گرفتن هسته ثابت همیشه کارا خواهد بود؟

جواب:

اگر عوارض متمرکز باشند و در کنار یکدیگر قرار گرفته­ باشند ممکن با به کار بردن هسته ثابت محدوده ­ای تعیین شود که شامل نقاط متمرکز و همچنین  نقاط سایر باشد در این حالت ممکن است اطلاعات زیاد و نامرتبطی به دست آید و میزان خطا افزایش یابد. البته ممکن است در به کار بردن هسته ثابت عکس این فرآیند نیز رخ دهد به عبارت دیگر محدوده تعیین شده حاوی اطلاعات کامل نباشد و دقت کار پایین آید.

ب) با فرض اینکه تغییر پارامترهای مدل به ازای تغییر در مکان به صورت پیوسته و آرام باشد آیا برآورد مدل ­های جداگانه برای هر پهنه روندی گسسته دارد؟ آیا نوعی تناقض در این جا ایجاد نمی­ شود؟

جواب:

به دست آوردن پارامترهای مدل مشابه پنجره­ متحرکی است که حول هر نقطه ایجاد شده و از تمامی مشاهدات درون پنجره برای برآورد این پارامترها استفاده شود. مسئله ناپیوستگی را به سهولت می­ توان با رگرسیون موزون جغرافیایی حل کرد زیرا رگرسیون موزون جغرافیایی بر این اصل استوار است که پارامترهای مدل را می­ توان در هر نقطه از فضای مورد مطالعه برآورد کرد. در این روش برای برآورد پارامترهای مدل در هر نقطه از مشاهدات اطراف آن نقطه استفاده می­ شود اما به مشاهدات نزدیک وزن بیشتر و به مشاهدات دور وزن کمتری داده می­ شود. رگرسیون موزون جغرافیایی برای لایه نقطه ­ای، خطی و یا سطحی مناسب است و باید بر روی داده ­های زیاد انجام شود. رگرسیون موزون جغرافیایی روشی چندان مناسب برای داده ­های نقطه ­ای که بر روی هم قرار گرفته ­اند نمی­ باشد.