روش های درون يابی

روش ­های درون يابی-موسسه چشم انداز هزاره سوم ملل-آموزش کاربردی GIS و RS

با توجه به ماهيت و نوع داده ­هايي که قرار است درون يابي شوند، روش­ هاي متعدد درون يابي ابداع شده که از مهم ترين آن­ها مي ­توان به موارد زير اشاره کرد:

روش­ های ترسیمی

اين روش ­ها مبتني بر ترسيم شکل ­هاي هندسي (معمولاً نامنظم) در اطراف نقاط معلوم و تخمين مقادير مجهول با روش­ هاي ساده رياضياتي مي­ باشند. روش­ هاي ترسيمي را مي­ توان به انواع زير دسته ­بندي کرد:

الف) روش مثلث­ بندی

در اين روش­ با وصل کردن نقاط معلوم به يکديگر، مثلث­ هايي (معمولاً نامنظم) به دست مي­ آيد که نقاط معلوم در رئوس آن­ها قرار گرفته ­اند. حال با يک ميانگين ­گيري ساده از مقادير معلوم در رئوس هر مثلث مي ­توان مقدار مجهول را ،که مثلاً در مرکز ثقل مثلث قرار گرفته، محاسبه کرد. براي نمونه در شکل 4-1 سه نقطه معلوم s2، s1 و s3 با مقادير 2، 5 و 7 رئوس يک مثلث را تشکيل مي­ دهند. براي درون يابي اين مقادير و تخمين مقدار مجهول، که در مرکز ثقل مثلث قرار گرفته، به­ طور ساده مي ­توان ميانگين رياضياتي (يا ميانه، مد، و…) آن­ها را محاسبه و به نقطه مجهول (نقطه s0) اختصاص داد (مقادير معلوم با نماد (Z(s2)، Z(s1و (Z(s3و مقدار مجهول با نماد (Z(s0 نشان داده شده است).

البته مي­ توان مقدار تخمين زده شده براي نقطه مجهول، که در مرکز ثقل مثلث درون يابي قرار گرفته است، را به تمامي مثلث مذکور تعميم داده و بدين ترتيب يک مثلث با مقدار معين به دست آورد. اين موضوع سـاده، مبنا و اساس يکي از مرسـوم ­ترين روش ­هاي تهيه سـطوح ارتفاعي (نقشه هاي پستي و بلندي) است که با عنوان مدل شبکه نامنظم مثلثي (TIN) معرفي مي­ شود. مطابق با اين مدل، نقاط ارتفاعي معلوم (گره ­ها) با خطوطي (کمان ­ها) به يکديگر وصل مي ­شوند و مثلث­ هاي نامنظمي (سطوح) به دست مي­ آيند. سپس با ميانگين­ گيري از رئوس هر مثلث، ارتفاع مثلث مورد نظر محاسبه شده و تغييرات ارتفاعي تمامي پهنه مورد نظر مدل سازي مي­ شود. در شکل 4-2 اجزاي مدل شبکه نامنظم مثلثي براي مدل سازي کردن پستي و بلندي­ هاي يک دلفين نشان داده شده است.

ب) روش شبکه تيسن

در اين روش که توسط هواشناس آمريکايي آلفرد تيسن ابداع شده است، هر کدام از نقاط معلوم در داخل يک چند ضلعي قرار مي­ گيرند و تمامي نقاط مجهول در چند ضلعي مورد نظر، ارزشي برابر با نقطه معلومي مي­ گيرند که در آن چند ضلعي واقع شده است. بدين ترتيب با داشتن تعدادي نقاط معلوم مي­ توان يک سطح پيوسته از مقادير به ­دست آورد. در اين روش مرزهاي يک چند ضلعي­ تا نقاط معلوم همسايه فاصله يکسان دارند و هر نقطه مجهول در داخل يک چندضلعي به نقطه معلوم مربوط به آن چندضلعي، در مقايسه با ساير نقاط معلوم، کمترين فاصله را دارد. چندضلعي هاي تيسن بدين ترتيب ايجاد مي­ شوند که نقاط معلوم به­ وسيله خطوط مثلثي به نزديک ترين همسايه­ شان متصل مي ­شوند. سپس عمود منصف کشيده شده براي هر ضلع با دو عمود منصف ديگر، که آن را قطع مي­ کند، گره چندضلعي تيسن را مي­ سازد. در خاتمه، خطوط اوليه بين نقاط برداشته مي­ شود و تقسيم يک ناحيه به چندضلعي­ هاي تيسن به وسيله قرارگيري نقاط نمونه به­ طور کامل تعيين مي­ شود. ساختار فضايي چندضلعي­ هاي تيسن به پراکنش نقاط معلوم بستگي دارد. اگر نقاط معلوم بر روي يک شبکه منظم قرار گرفته باشند، چندضلعي­ هاي تيسن با اندازه و شکل يکنواخت ساخته مي­شوند؛ در حالي­ که اگر نقاط معلوم توزيع فضايي نامنظم داشته باشند، چندضلعي ­هاي تيسن نامنظم به ­وجود مي­ آيند (جانستون، 1998).

در شکل 4-3، 7 نقطه معلوم با مقادير (Z(s1 تا (Z(s7 نشان داده شده است. اگر قرار به تخمين مقدار مجهول در نقطه s0 باشد، مي­ توان همانند آن چه در شکل نشان داده شده، در اطراف هر کدام از نقاط معلوم يک چندضلعي تيسن ايجاد کرده و سپس مشخص کرد که نقطه s0 در کدام چندضلعي قرار  مي­ گيرد. مطابق با شکل مزبور، نقطه s0 در چندضلعي (5) قرار گرفته و لذا Z(s0) =6 /9خواهد بود.

معمولاً از چندضلعي­ هاي تيسن براي درون يابي داده­ هايي استفاده مي­ شود که در محيط­ هاي فيزيکي ناهمگن يا غير پيوسته برداشت شده ­اند. براي مثال اگر از سطح خاک يک دشت نمونه­ هاي خاک برداشت شود و غلظت سديم در هر نمونه اندازه­ گيري شود، چون محيط خاک يک محيط غير پيوسته است و به فرسايش سنگ مادر و ساير عوامل ناهمگن بستگي دارد، بهتر است از چندضلعي­ هاي تيسن براي درون يابي مقادير سديم در گستره دشت مورد مطالعه استفاده کرد.

براي تعميم دادن داده­ هاي قياسي نقطه ­اي، به يک سطح، نيز مي­ توان از روش چند­ضلعي ­هاي تيسن بهره برد. براي نمونه اگر در شکل فوق نوع خاک در نقطه (3)، رُس باشد با يک تقريب مي­ توان تمامي خاک­ هاي موجود در چند­ضلعي (3) را از نوع رُسي در نظر گرفت.

هرچند که درون يابي داده ­هاي پيوسته اعشاري، براي مثال داده ­هاي دما، بارش، ارتفاع، غلظت عناصر در آب و… با روش چندضلعي­ هاي تيسن معمول نمي ­باشد، اما در برخي از موارد از اين نوع درون يابي استفاده شده است. براي نمونه در شکل 4-4 نتيجه حاصل از درون يابي داده­ هاي ارتفاعي با روش چند­ضلعي­ هاي تيسن نشان داده شده است.

روش­های جبری (يا قطعی)

در اين روش­ ها با پياده­ سازي توابع رياضياتي بر روي نقاط معلوم، مقدار يا مقادير در نقطه يا نقاط مجهول محاسبه مي­ شود. نتيجه روش­ هاي مزبور ايجاد سطوحي پيوسته از مقادير مي­ باشد. در اين نوع درون يابي فرض بر آن است که تخمين مقدار مجهول به­ صورت قطعي انجام شده و با خطا مواجه نيست بنابراين اين روش­ ها، روش­ هايي غير احتمالاتي محـسوب مي­ شـوند. اگر فرض شـود که تخمــين مقادير مجهول بايستي بدون خطا انجام شـود، آن­گاه تابع درون يابي به گونه ­اي تعيين مي­ شود که مقادير برآوردي دقيقاً با مقادير نقاط معلوم برابر شوند (قهرودي و بابايي، 1393).

البته در عمل هيچ ­گاه هيچ ­گونه تخمين دقيقي نمي­ توان انجام داد و همواره مقداري خطا وجود دارد. لذا روش­ هاي درون يابي جبري تنها زماني سودمند هستند که مقدار خطاي اندازه­ گيري به اندازه کافي کوچک باشد. مهمترين روش­ هاي درونيابي جبري را به صورت زير مي­ توان دسته بندي کرد:

در اين روش ­ها با پياده­ سازي توابع رياضياتي بر روي نقاط معلوم، مقدار يا مقادير در نقطه يا نقاط مجهول محاسبه مي­ شود. نتيجه روش ­هاي مزبور ايجاد سطوحي پيوسته از مقادير مي­ باشد. در اين نوع درون يابي فرض بر آن است که تخمين مقدار مجهول به ­صورت قطعي انجام شده و با خطا مواجه نيست بنابراين اين روش­ ها، روش ­هايي غيراحتمالاتي محـسوب مي­ شـوند. اگر فرض شـود که تخمــين مقادير مجهول بايستي بدون خطا انجام شـود، آن­گاه تابع درون يابي به­ گونه ­اي تعيين مي­ شود که مقادير برآوردي دقيقاً با مقادير نقاط معلوم برابر شوند (قهرودي و بابايي، 1393).

روش درون يابی چند جمله ­ای (يا تابع روند)

در اين روش يک سطح برازش به گونه ­اي از بين نقاط معلوم عبور داده مي ­شود که 50 درصد نقاط بالاتر از اين سطح و 50 درصد پايين­ تر از آن قرار داشته باشند. سطح مزبور داراي يک معادله چندجمله ­اي بين متغيرهاي y ،X  و (Z(s  است. X و y موقعيت نقاط و (Z(s مقدار متغير مورد بررسي در نقطه (s) مي­ باشد. حال کافي است براي تخمين مقدار (Z(s0 (مقدار در نقطه مجهول)، مقادير X و y را در معادله سطح برازش قرار داده و معادله را حل کرد. با توجه به پراکنش نقاط معلوم و دامنه تغييرات مقادير، از دو روش درون يابي چندجمله ­اي استفاده مي­ شود:

الف) درون يابی چندجمله ­ای عمومی

در صورتي­ که محدوده تغييرات مقادير معلوم، چندان زياد نباشد (سطح هموار باشد) و اين تغيير از روند خاصي تبعيت کند، سطح برازش با يک روند رياضياتي از بين تمامي نقاط معلوم عبور داده مي­ شود و معادل ه­اي ساده با ضرايب غيرمتعدد به ­دست خواهد آمد. مثلاً اگر در چند نقطه از يک سطح شيب ­دار مقدار ارتفاع را اندازه ­گيري کرده باشيد و بخواهيد سطح شيب ­دار را با درون يابي مدل سازي کنيد، کافي است يک سطح با معادله درجه 1 از بين اين نقاط برازش دهيد. اگر منطقه پيمايش شده به شکل دره يا تپه باشد، معادله چندجمله­ اي درجه 2 و در صورتي ­که ترکيبي از يک دره و تپه مد نظر باشد، معادله درجه 3 به کار گرفته مي ­شود. در شکل 4-5 انواع مختلف سطوح برازش که با چندجمله­ اي­ هاي عمومي به دست آمده ­اند نشان داده شده است. در صورتي­که از سطح برازش يک مقطع دو بعدي تهيه شود، معادله سطح به معادله خط (منحني) برازش تغيير يافته و متغير X يا y از معادله سطح حذف مي ­شود. براي نمونه در شکل 4-6 منحني برازش چندجمله ­اي درجه 3 نشان داده شده است.

ب) درون يابی چندجمله ­ای محلی

در صورتي­ که دامنه تغييرات مقادير معلوم زياد باشد و اين تغييرات از روند يا روندهاي خاصي تبعيت کند، براي درون يابي داده­ ها از درون يابي چند جمله­ اي محلي استفاده مي­ شود. فرض کنيد نقاط ارتفاعي را در تپه ­اي مشابه با آن چه در شکل 4-7 مي­ بينيد، برداشت کرده ­ايد. اين تپه از پايين به بالا از سه سطح شيب ­دار با شيب­ هاي مخـتلف تشکيل شده است. اگر بخواهيد به روش چندجمله ­اي عمومي، سطح برازشي از بين نقاط معلوم عبور داده و پستي و بلندي تپه مزبور را مدل سازي کنيد، نتيجه حاصله نمي ­تواند بازگو کننده سطح واقعي تپه باشد.

در اين حالت لازم است معادله برازشي به دست آيد که ترکيبي از سه سطح برازش با معادلات مختلف است. به عبارتي در اين مورد نياز به درون يابي چندجمله ­اي محلي مي­ باشد.

روش درون يابی اسپلاين

در روش اسپلاين يا (روش شعاع پايه)، يک صفحه کشسان به ­گونه ­اي در فضا ترسيم مي ­شود که با تمامي نقاط معلوم اتصال داشته باشد. اين سطح کشسان داراي معادل ه­اي تقريبا پيچيده بين مقادير y،  Xو  s مي ­باشد. حال اگر نقطه مجهولي با مختصات  Xو  yمعلوم، موجود باشد، کافي است مقادير  Xو  y را در معادله سطح گذاشته و مقدار s را تخمين زد. تفاوت اين روش با درون يابي چند جمله ­اي در اين است که سطح اسپلاين نقاط معلوم را قطع مي­ کند در حالي­ که سطح برازش از بين نقاط عبور داده مي­ شود. روش اسپلاين در شرايطي مفيد است که تغييرات مقدار مورد نظر در نقاط معلوم با تغيير فاصله چندان زياد نباشد. براي نمونه در آب يک درياچه، غلظت عنصر کادميم ممکن است از 06/0 تا 09/0 ميلي ­گرم بر ليتر در فاصله 1 کيلومتري تغيير کند يعني فقط 03/0 در هر کيلومتر مربع؛ بنابراين روش اسپلاين براي درون يابي مقادير اين عنصر در محدوده درياچه مورد مطالعه مي­ تواند مناسب باشد. معادله کلي درون يابي اسپلاين به صورت زير است:

که در آن n تعداد نقاط معلوم، λj ضریب راه حل معادلات خطی،  rj فاصله از نقطه معلوم jاُم،  (T(X,y و (R(rj با توجه به نوع گزینه، توسط کاربر تعیین می­ شود. درون يابي اسپلاين به دو روش عمده انجام مي­ شود که عبارتند از:

الف) روش منظم

در اين روش صفحه اسپلاين به صورت هموار کش و قوس پيدا مي ­کند و به نقاط معلوم متصل مي­ شود. بنابراين نتيجه اين روش يک سطح هموار مي­ باشد که البته دقت درون يابي کمتري دارد (شکل­هاي 4-8 و 4-9 را ببينيد).

ب) روش کششی

در اين روش صفحه اسپلاين به صورت ناهموار و تند و تيز کشيده شده و به نقاط معلوم متصل مي­ شود. بنابراين نتيجه اين روش يک سطح ناهموار مي­ باشد که البته دقت درون يابي بيشتري دارد (شکل­هاي 4-8 و 4-9 را ببينيد).

روش درون يابی معکوس فاصله وزنی (IDW)

در اين روش از معکوس فاصله به­ عنوان وزن نقاط معلوم در تخمين نقاط مجهول استفاده مي­ شود، زيرا نقش متغير پيوسته در تأثيرگذاري با فاصله از مکان نقطه مجهول کاهش مي­ يابد. معادله عمومي درون يابي عکس فاصله وزني به صورت زير است:

که در آن (Z(si مقدار معلوم در موقعيت iاُم،

مقدار در نقطه مجهول λi، S0 وزن مقدار معلوم در موقعيت iاُم و N تعداد نقاط معلوم مي ­باشد. λi تابعي از فواصل بين نقاط معلوم تا نقطه مجهول مي باشد و هرچه اين فاصله بيشتر باشد، مقدار λi کوچک­تر است. اين بدان معناست که نقاط معلومي که در فاصله زياد نسبت به نقطه مجهول قرار گرفته ­اند، در عمل تأثير اندکي در تخمين مقدار مجهول دارند. در درون يابي به روش عکس فاصله وزني، دو مفهوم عمده مطرح مي­ شود:

الف) محدوده همسايگی

در روش IDW، معمولاً تمامي نقاط معلوم در درون يابي مقدار در نقطه مجهول مورد استفاده قرار نمي­ گيرد، چون نقاط معلومي که در فاصله زياد نسبت به نقطه مجهول قرار دارند، در عمل تأثير گذاري خود را از دست مي­ دهند. بنابراين يک دايره با شعاع جستجو (ثابت يا متغير) به مرکز نقطه مجهول ترسيم شده و نقاط معلوم واقع در اين دايره در محاسبات دخالت داده مي­ شوند.

ب) توان

افزايش يا کاهش وابستگي مقدار مجهول به مقادير معلوم، واقع در دايره جستجو، بر اساس توان معکوس فاصله تنظيم مي­ شود. توان مناسب (P) با محاسبه حداقل ميزان  تعيين RMSPE مي ­شود که مربع حداقل خطاي پيش ­بيني است و بهترين توان مقداري است که بهترين برآورد را از سلول ­هاي مجهول داشته باشد، يا به عبارتي داراي حداقل خطاي پيش ­بيني باشد. خطاي پيش­ بيني با مقايسه مقادير معلوم با مقادير پيش ­بيني شده براي نقاط مجهول به دست مي ­آيد (شکل 4-10).

توان مناسب ارتباط نزديکي با نقش فاصله در برآورد نقاط مجهول دارد. افزايش توان تأثير فاصله را در درون يابي بيشتر مي­ کند. به­ اين معنا که شباهت نقاط مجهول به همسايگان معلوم نزديکتر با افزايش توان بيشتر مي­ شود (قهرودي و بابايي، 1393). هنگامي که توان برابر با صفر است، نقش فاصله يکسان مي­ شود و مقدار مجهول، از ميانگين نقاط همسايه به دست مي­ آيد و اگر توان افزايش يابد، تأثير فاصله افزايش مي ­يابد و فاصله­ هاي نزديک تر، وزن­ هاي بالاتري به دست خواهند آورد (فيليپ و واتسون، 1985) (شکل 4-11 را ببينيد).

روش درون يابي IDW در مواردي مورد استفاده قرار مي­ گيرد که تغييرات مقادير پارامتر مورد نظر با تغيير فاصله افقي، تقريبا زياد باشد و تغييرات به صورت محلي بارز و آشکار باشد. براي نمونه براي درون يابي داده ­هاي نقاط ارتفاعي و تخمين ارتفاع در نقاط مجهول از اين روش استفاده  مي­ شود. سطحي که به اين روش توليد مي­ شود نشان دهنده تغييرات ارتفاع منطقه مورد نظر ناميده مي­ شود و مدل رقومي ارتفاع (DEM) ناميده مي ­شود (شکل 4-12).